Objętość czworościanu

[CzarQ]

Wyznacz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt znajdujący się w dodatniej "ćwiartce" tak aby powstały czworościan na przecieciu z osiami miał jak najmniejszą objętość. Wydaje mi się że ta płaszczyzna musi dzielić na osiach równe części tylko nie za bardzo wiem jak to pokazać funkcją wielu zmiennych za pomocą ekstremum. Ma ktoś jakiś pomysł?

[a4karo]

Zacznij może od napisania czegoś. Np. oznaczenie tego punktu jakąś literą? Od napisania równania płaszczyzny przechodzącej przez ten punkt. Od wyliczenia punktów przecięcia z osiami.

[CzarQ]

Rozpisałem ale wydaje mi się że źle się do tego zabieram. To jest to co mam:

Punkt przez który przechodzi płaszczyzna \(\displaystyle{ P(x_0,y_0,z_0), x_0,y_0,z_0>0}\).
Wektor normalny płaszczyzny \(\displaystyle{ n[A,B,C]}\).
Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P}\) to \(\displaystyle{ A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0}\).
Punkty które przecinają się z osiami (czyli te które wyznaczają wierzchołki czworościanu) \(\displaystyle{ K(k,0,0), I(0,i,0), J(0,0,j)}\).
Objętość będzie najmniejsza wtedy gdy \(\displaystyle{ k \cdot i \cdot j}\) osiąga minimum.
Potem podstawiłem te punkty do równanie płaszczyzny i dostaje 3 równania:
\(\displaystyle{ -x_0 \cdot A-y_0 \cdot B-z_0 \cdot C+C \cdot j=0 \\
-x_0 \cdot A-y_0 \cdot B-z_0 \cdot C+B \cdot i=0 \\
-x_0 \cdot A-y_0 \cdot B-z_0 \cdot C+A \cdot k=0.}\)
Wychodzi z tego że \(\displaystyle{ A \cdot k=B \cdot i=C \cdot j.}\)

I w tym momencie nie wiem co robić. Jak wyznaczyć wektor normalny

[a4karo]

A jaką wartośc masz zminimalizować? Wylicz ją w zależności od niewiadomych \(\displaystyle{ A,B,C}\)

[CzarQ]

Zminimalizować mam \(\displaystyle{ k \cdot i \cdot j}\) tylko nie za bardzo wiem jak ułożyć równanie z którego mogę policzyć ekstremum.

-- 2 kwi 2019, o 12:59 --

Jedyne co przychodzi mi na myśl to wyliczyć np \(\displaystyle{ k,j}\) i z tego wychodzi \(\displaystyle{ k=\frac{B}{A} \cdot i, j=\frac{B}{c} \cdot i}\). Czyli minimum musi osiągać wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{i^3B^2}{C \cdot A}}\). Ale co dalej z tym to też nie wiem.

[a4karo]

A z tych trzech równań potrafisz obliczyć \(\displaystyle{ i,j,k}\) odpowiednio?

[CzarQ]

Potrafię, a jak je już wylicze to potem mam je podstawić do \(\displaystyle{ i \cdot j \cdot k}\) i z tego liczyć ekstremum warunkowe w którym warunkiem jest równanie płaszczyzny?

[a4karo]

No nie, bo równanie płaszczyzny nie jest dane.
Otrzymasz funkcję postaci \(\displaystyle{ V(A,B,C)}\) i masz policzyć jej minimum.

[Hydra147]

Z racji, że płaszczyzna dająca minimalną objętość pozostanie ją w dowolnym przekształceniu afinicznym, musi być prawdą, że ów punkt będzie środkiem ciężkości trójkąta, który płaszczyzna odcina od pierwszego oktantu. Ten łatwo jednak znaleźć - wystarczy bowiem punkt dzielący odcinek środek uładu współrzędnych-szukany punkt w stosunku \(\displaystyle{ -1,5}\) zrzutować na osie układu współrzędnych.

[CzarQ]

Po obliczeniu pochodnych cząstkowych i ich miejsc zerowych wychodzi że \(\displaystyle{ B= A \cdot \frac{x}{y} \wedge C=A \cdot \frac{x}{z} \wedge A>0}\). Czy takie coś jest dobrze? Bo wydaje mi się coś źle, bo \(\displaystyle{ A}\) jest nie określone. Obliczenia wszystkie robil wolfram alpha.

-- 2 kwi 2019, o 15:54 --

Hydra147, mógłbyś wytłumaczyć jak na podstawie środka ciężkości wyznaczyć wierzchołki? Bo nie za bardzo rozumiem jak to zrzutować. Najlepiej na jakimś konkretnym przykładzie.

[a4karo]

Obliczenia powinieneś zrobić sam. Licho wie co tam do Wolframa wsadziłeś.
A poza tym skąd mam wiedzieć czy jest dobrze, jak nie pokazujesz żadnych obliczeń.

[CzarQ]

Tylko te obliczenia są dość długie i trudne więc wtedy zajęło by to za dużo czasu. Chodzi mi o to bardziej czy możliwe jest że takich czworościanow jest nieskończenie wiele? Myślałem że jest on zawsze wyznaczany jednoznacznie.-- 2 kwi 2019, o 18:54 --Więc wszystkie obliczenia po kolei:

\(\displaystyle{ j= \frac{A\cdot x_0+B\cdot y_0 + C\cdot z_0}{C}}\)
\(\displaystyle{ i= \frac{A\cdot x_0+B\cdot y_0 + C\cdot z_0}{B}}\)
\(\displaystyle{ k= \frac{A\cdot x_0+B\cdot y_0 + C\cdot z_0}{A}}\)

Do równania \(\displaystyle{ i\cdot j \cdot k}\) wstawiam te wartości i otrzymuje:
\(\displaystyle{ \frac{(A\cdot x_0+B\cdot y_0 + C\cdot z_0)^3}{A\cdot B\cdot C}}\) i ta funkcja ma osiągać minimum.

Teraz pochodna po \(\displaystyle{ A, B, C}\) ma równać się \(\displaystyle{ 0}\). I Tu zaczynam używać wolfram alpha (możliwe że robię coś źle bo nie da się obliczyć wszystkich wszystkich 3 równań jednocześnie tylko max dwa).
i wynik wychodzi:
\(\displaystyle{ B= \frac{A\cdot x_0}{y_0}}\), \(\displaystyle{ C= \frac{A\cdot x_0}{z_0}}\), \(\displaystyle{ A>0}\)

I teraz wydaje mi się że coś jest nie tak, bo to trochę dziwne że jest nieskończenie wiele takich czworościanów.

[Hydra147]

Jeśli twój punkt ma współrzędne \(\displaystyle{ (x,y,z)}\), to szukany przez Ciebie trójkąt ma wierzchołki \(\displaystyle{ (3x,0,0)}\), \(\displaystyle{ (0,3y,0)}\), \(\displaystyle{ (0,0,3z)}\).

[a4karo]

Powtarzam: nie używaj Wolframa tylko licz sam. Inaczej niczego sie nie nauczysz.

Wylicz pochodne tej funkcji po \(\displaystyle{ A,\ B}\) i \(\displaystyle{ C}\) i przyrównaj je do zera.