Biorąc pod uwagę rodzinę grup \(\displaystyle{ \{G_i:i\in I\}}\) możemy założyć, że \(\displaystyle{ G_i}\) są parami rozłączne. Niech \(\displaystyle{ X= \bigcup_{i\in I}^{}G_i}\) i niech \(\displaystyle{ \{1\}}\) będzie jednym elementem rozłącznym z \(\displaystyle{ X.}\) Wyraz z \(\displaystyle{ X}\) jest każdym ciągiem \(\displaystyle{ (a_1,a_2,...,a_n), a_i \in X \cup \{1\}}\) takim, że dla pewnego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}, a_i=1}\) dla każdego \(\displaystyle{ i\ge n}\). Wyraz \(\displaystyle{ (a_1,a_2,...,a_n)}\) jest zredukowany, jeśli:
(a) żaden \(\displaystyle{ a_i \in X}\) jest elementem neutralnym w swojej grupie \(\displaystyle{ G_i}\),
(b) dla każdego \(\displaystyle{ i\ge 1, a_i}\) i \(\displaystyle{ a_{i+1}}\) nie są w tej samej grupie \(\displaystyle{ G_i}\),
(c) \(\displaystyle{ a_k=1}\) implikuje \(\displaystyle{ a_i=1}\) dla każdego \(\displaystyle{ i\ge k}\).
W szczególności \(\displaystyle{ 1=(1,1,...,1)}\) jest zredukowany. Pokaż, że każdy wyraz zredukowany może być napisany w jednoznacznej postaci \(\displaystyle{ a_1\cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n=(a_1,a_2,...,a_n,1,1,...)}\).
Jakaś wskazówka?