Kąty w okregu

[Przemo1337]

Średnica AB i cięciwa CD przecinają sie w punkcie M takim że kąt CMB ma miarę \(\displaystyle{ 73^\circ}\) a kąt środkowy oparty na łuku BC ma miarę \(\displaystyle{ 110 ^\circ}\). Zatem miara kąta środkowego opartego na łuku BD jest równa?

[kerajs]

Sądzę że źle przepisałeś zadanie lub jest błąd w jego treści.
Przy aktualnej treści kąt BOD zmienia się w zależności od oddalenia siecznej od środka okręgu.

Można za to jednoznacznie obliczyć kat AOD:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \angle BAC= \frac{1}{2} \angle BOC\\
\angle ACD =180^{\circ}- \angle BAC-(180^{\circ}- \angle BMC)\\
\angle AOD=2 \angle ACD}\)

[Przemo1337]

Zadanie przepisałem z kartki którą nam dała nauczycielka na matmie. Mówiła że to rozwiązała i że się niby da to zrobić.

[kerajs]

Proponuję ćwiczenie które to zweryfikuje. Potrzebne będą: kartka, ołówek, linijka, cyrkiel i kątomierz.
Narysuj sobie dość duży okrąg. Zaznacz na nim punkt B i wyznacz (kątomierzem) kąt środkowy BOC równy 110 stopniom. Masz stałe punkty B i C.
1) Narysuj średnicę AB i wyznacz (kątomierzem) prostą CD taką, żę kąt CMB ma miarę 73 stopni. Dorysuj brakujące promienie i zmierz kąt BOD
2) Z punktu B narysuj dowolną cięciwę BA' nie będącą średnicą. Wyznacz (kątomierzem) prostą CD' taką, żę kąt CMB ma miarę 73 stopni. Dorysuj brakujące promienie i zmierz kąt BOD'

Czy kąty BOD i BOD' są równe?

EDiT
Ech, to ja źle przeczytałem. Tam jest średnica AB a nie dwie cięciwy. Sorry.
Kąt BOD ma 144 stopnie.

[florek177]

wg. mnie zadanie jest przekombinowane, bo:
- jeżeli znamy kąt \(\displaystyle{ \,\, COB \,\,}\), to znamy kąt \(\displaystyle{ \,\, CDB \,\,}\), to znamy kąt \(\displaystyle{ \,\, ODB \,\,}\) i wiemy ile wynosi szukany kąt.

[Przemo1337]

florek177 więc według Ciebie ile wynosi szukany kąt bo według rysunku z lekcji nic mi nie wychodzi

[Dilectus]

Mnie wyszło. Oto przepis:

Zrób rysunek. Niech O oznacza środek okręgu. Mamy wówczas \(\displaystyle{ \angle BOC=110^o}\), \(\displaystyle{ \angle CMB= 73^o}\).

I teraz:

1. Rozwiąż trójkąt COM, żeby znaleźć \(\displaystyle{ \angle MCO}\)

2. Znajdź kąt \(\displaystyle{ \angle COD}\)

3. Szukany kąt \(\displaystyle{ \angle BOD= 360-\angle BOC-\angle COD=144^o}\)

Skoro Kerajs twierdzi, że jest błędna treść, to być może się rąbnąłem, chociaż wątpię, bo rysunek robiłem w Geogebrze, tylko nie umiem go zamieścić na Forum.

[kerajs]

Nie, nie, to ja źle przeczytałem. Tam jest średnica AB a nie dwie cięciwy. Sorry.

[Przemo1337]

Według pierwszych wskazówek kerajs-a z tego wzoru szukany kąt też wyszedł 144 więc powinno być git. Dzięki za pomoc

[kruszewski]

Mnie wyszło. Oto przepis:

Zrób rysunek. Niech O oznacza środek okręgu. Mamy wówczas \(\displaystyle{ \angle BOC=110^o}\), \(\displaystyle{ \angle CMB= 73^o}\).

I teraz:

1. Rozwiąż trójkąt COM, żeby znaleźć \(\displaystyle{ \angle MCO}\)

2. Znajdź kąt \(\displaystyle{ \angle COD}\)

3. Szukany kąt \(\displaystyle{ \angle BOD= 360-\angle BOC-\angle COD=144^o}\)

Skoro Kerajs twierdzi, że jest błędna treść, to być może się rąbnąłem, chociaż wątpię, bo rysunek robiłem w Geogebrze, tylko nie umiem go zamieścić na Forum.

Rozwiązanie jest poprawne. Stąd swoje z rysunkiem, ale spóźnione, skasowałem.

[florek177]

- jeżeli znamy kąt \(\displaystyle{ \,\, COB = 110\,\,,}\) to znamy kąt \(\displaystyle{ \,\, CDB= 55 \,\,}\), to znamy kąt \(\displaystyle{ \,\, ODB = 27,5\,\,}\) i wiemy ile wynosi szukany kąt \(\displaystyle{ \,\, DOB = 125 \,\,}\)

[Przemo1337]

Mógłby ktoś podesłać dobry rysunek bo już się pogubiłem.-- 29 mar 2019, o 18:29 --

[kruszewski]

Ukryta treść:    

[florek177]

A jak na rysunku zamienimy miejscami punkty \(\displaystyle{ \,\, C, D \,\,}\)

[kruszewski]

Zauważymy wtedy zamianę miar kątów środkowych.

Średnica \(\displaystyle{ AB}\) i cięciwa \(\displaystyle{ CD}\) przecinają sie w punkcie \(\displaystyle{ M}\) takim że kąt \(\displaystyle{ CMB}\) ma miarę \(\displaystyle{ 73^o}\) a kąt środkowy oparty na łuku \(\displaystyle{ BC}\) ma miarę nie \(\displaystyle{ 110 ^o}\) tylko \(\displaystyle{ 144^o}\). A odpowiedź na pytanie o miarę kąta środkowego\(\displaystyle{ \angle}\) \(\displaystyle{ BOD}\) będzie: \(\displaystyle{ \angle BOD}\) ma miarę \(\displaystyle{ 110^o}\)