Udowodnij nierówność wykorzystując rachunek różniczkowy

[MultiGumis]

\(\displaystyle{ 2x \cdot \arctan x \ge \ln (1+x ^{2})}\)

Jak się udowadnia tego typu nierówności? Istnieje jakiś schemat udowadniania?

[Premislav]

Tak, istnieje pewien schemat, nawet pewnie więcej niż jeden.

Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f(x)=2x\arctan x - \ln (1+x ^{2})}\). Funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest parzysta, więc wystarczy pokazać, że jest ona nieujemna dla \(\displaystyle{ x\ge 0}\).
Mamy \(\displaystyle{ f(0)=0}\), a także dla \(\displaystyle{ x>0}\) zachodzi
\(\displaystyle{ f'(x)=\frac{2x}{1+x^2}+2\arctan x-\frac{2x}{1+x^2}=2\arctan x>0}\)
Czyli \(\displaystyle{ f}\) jest rosnąca w \(\displaystyle{ (0,+\infty)}\), a zatem dla dowolnego \(\displaystyle{ x\ge 0}\) mamy
\(\displaystyle{ f(x)\ge 0}\), czyli \(\displaystyle{ 2x\arctan x\ge \ln (1+x^2)}\), c.n.d.

[PoweredDragon]

Kilka schematów można znaleźć

\(\displaystyle{ f(x) \ge g(x) \\
h(x) := f(x)-g(x) \ge 0}\)

I można np. pokazać, że w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\) jest równość; na lewo od \(\displaystyle{ x_0}\) funkcja \(\displaystyle{ h}\) jest malejąca, a na prawo rosnąca. (w szczególności \(\displaystyle{ x_0 =0}\) i \(\displaystyle{ h}\) może być parzysta tak jak tutaj )

Można np. pokazać, że \(\displaystyle{ h}\) ma ekstrema lokalne i każde z nich jest dodatnie

Może trywializuje się pokazanie, że
\(\displaystyle{ e^{f(x)-g(x)} > 1}\)

Metod jest multum, a która zadziała? To zależy od konkretnego przypadku...

[Premislav]

Tutaj można też zastosować

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Cauchy%E2%80%99ego_%28rachunek_r%C3%B3%C5%BCniczkowy%29

: dla \(\displaystyle{ x=0}\) zachodzi równość, zaś dla \(\displaystyle{ x>0}\) istnieje takie \(\displaystyle{ c\in(0,x)}\), że:
\(\displaystyle{ \frac{\arctg x-\arctg 0}{\ln(1+x^2)-\ln(1+0)}=\frac{\frac{1}{c^2+1}}{\frac{2c}{c^2+1}}=\frac{1}{2c}}\)
i skoro \(\displaystyle{ c\in(0,x)}\), to \(\displaystyle{ \frac{1}{2c}>\frac{1}{2x}}\)

No a jeśli chodzi o \(\displaystyle{ x<0}\), to ponownie korzystamy z parzystości.

-- 25 mar 2019, o 19:25 --

Przypomniało mi się też, że tutaj: 208702.htm jest wątek poświęcony dowodzeniu nierówności za pomocą twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej, akurat tutaj raczej się nie przyda, ale często się przydaje.