Przekątne w pieciokacie foremnym

[vital]

W pieciokacie foremnym \(\displaystyle{ ABCDE}\) przekątne \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ F}\). Wykaz że trójkąty \(\displaystyle{ ABF}\) i \(\displaystyle{ ABD}\) są podobne. Jak zrobić?-- 25 mar 2019, o 20:13 --Pomoże ktoś?

[kruszewski]

Trójkąty te są nie tylko podobne ale przystajace, bo:
kąty przy ich podstawach są odpowiednio sobie równe, a ich boki naprzeciw kąta wierzchołkowego są równe co jest konsekwencją foremności figury i jej pięciu osi symetrii.

[karolex123]

kruszewski, chyba nie na te trójkąty patrzym, bo \(\displaystyle{ ABF \subset ABD}\) (inkluzja właściwa), w szczególności te trójkąty nie są przystające.

Oznaczmy: \(\displaystyle{ \alpha= \frac{180^{\circ}}{5}}\). Wtedy mamy, że każdy z kątów naszego pięciokąta ma miarę \(\displaystyle{ 3 \alpha}\). Trójkąty \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ ADE}\) są oczywiście równoramienne, więc \(\displaystyle{ \angle BAC=\angle DAE=\alpha}\) i w konsekwencji \(\displaystyle{ \angle BAD=2\alpha}\). Z tych samych przyczyn \(\displaystyle{ \angle ABD=2 \alpha}\), a stąd już wynika nasze podobieństwo (pamiętamy, że \(\displaystyle{ 5 \alpha=180^{\circ}}\) !)

[kruszewski]

Ma Pan rację. Nie na te.

-- 25 mar 2019, o 23:26 --
Tu patrzenie na właściwe a te są podobne bo zachodzi równość ich kątów co widać tu:


Objaśnienia wymaga równość kątów \(\displaystyle{ \alpha}\) Są to kąty o wierzchołkach na obwodzie tego samego okręgu i oparte na równych cięciwach. Bo kąt \(\displaystyle{ \varphi}\) jest wspólnym a \(\displaystyle{ \beta}\) różnicą sumy tych dwu od \(\displaystyle{ \pi}\)