Znajdź takie liczby g i C

[kacpersowinski]

Hej mam problem z pewnym zadaniem i nie mam pomysłu jak się do niego zabrać :/

Znajdź takie liczb g i C ,że

\(\displaystyle{ \left|\frac{ n^{2}-n }{ \sqrt{n ^{4}+2 } } - g \right| \le \frac{C}{n}}\)

Jakby mógł mi ktoś wytłumaczyć to krok po kroku bo czeka mnie dużo takich zadań a chcę to po prostu zrozumieć Dzięki!

[szw1710]

Jakim kwantyfikatorem objęte jest \(\displaystyle{ n}\)? Ja domniemywam, że ogólnym.

[kacpersowinski]

Dalej nie rozumiem :/ g=1 ale nawet nie wiem dlaczego i co mogę dlaej z tym zrobić i jak dalej ma się to do nierówności :/

[szw1710]

Tak - granica wynosi \(\displaystyle{ 1.}\)

Teraz oblicz różnicę pod modułem. Zbadaj asymptotykę. Zobacz, że \(\displaystyle{ \sqrt{n^4+2}\approx n^2.}\). Więc ta różnica (moduł z niej) to mniej więcej \(\displaystyle{ \frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}.}\) W praktyce \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) może nie starczyć - weź \(\displaystyle{ \frac{2}{n}.}\) Więc \(\displaystyle{ C=2.}\) Narysuj wykres, a potem wykaż.

Możesz też posiłkować się nierównością \(\displaystyle{ n^2<\sqrt{n^4+2}<n^2\sqrt{2}.}\)

[Jan Kraszewski]

I znów: zadania z Analizy 1 (by JWr), tym razem mające wyrobić pewne intuicje dotyczące szacowań PRZED wprowadzeniem pojęcia granicy.

JK

[szw1710]

I znów: zadania z Analizy 1 (by JWr), tym razem mające wyrobić pewne intuicje dotyczące szacowań PRZED wprowadzeniem pojęcia granicy.

JK

A skąd mam to wiedzieć?

Możesz też posiłkować się nierównością \(\displaystyle{ n^2<\sqrt{n^4+2}<n^2\sqrt{2}}\).

Stąd można łatwo otrzymać, że \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(1-\frac{1}{n}\right)<\frac{n^2-n}{\sqrt{n^4+2}}<1-\frac{1}{n},}\) a z tym już można zrobić coś konkretnego.

[kacpersowinski]

A jak można zrobić to zadanie NIE stosując granicy ?

[szw1710]

Tak jak pokazałem powyżej. Jednak bez tego pojęcia rozwiązanie wydaje mi się trochę sztuczne. Ktokolwiek studiuje matematykę, pojęcie granicy zna. Mając je, trywialnie widać, że \(\displaystyle{ g=1}\) i można coś robić. Mamy za zadanie znaleźć te liczby. Dobra jest każda metoda, byle poprawna. Bez granicy to mniej więcej tak, jakby dla sportu kazać umyć cały samochód szczoteczką do zębów. Możliwe? Owszem. Ale bardzo niepraktyczne.

[Premislav]

A jeśli nie pojawiło się pojęcie granicy (w mojej opinii naturalnie związane z tym zadaniem), to co w ogóle się pojawiło? Kres górny, kres dolny, cokolwiek takiego? Myślę, że bez odpowiedzi na to pytanie udzielanie kolejnych wskazówek nie ma wielkiego sensu.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Moim zdaniem „wyrabianie intuicji" na takich zadaniach przed wprowadzeniem pojęcia granicy raczej może blokować i straszyć studentów (intuicję to można wyrabiać na \(\displaystyle{ \frac 1 x}\) ), no ale nie jestem dydaktykiem matematyki.

[kacpersowinski]

Jedyne co jest napisane w treści zadania to "Znajdź liczby g oraz C takie ,że" i sam do końca nie zrozumiałem treści samego zadania skoro czytam posty o granicy oraz twierdzeniu 3 ciągów :/

[Jan Kraszewski]

A jak można zrobić to zadanie NIE stosując granicy ?

Zauważasz, że wyrażenia \(\displaystyle{ n^{2}-n}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{n ^{4}+2 }}\) są tego samego rzędu, więc to pozwala Ci przypuszczać, że \(\displaystyle{ g=1}\). Potem szacujesz:

\(\displaystyle{ \left|\frac{ n^{2}-n }{ \sqrt{n ^{4}+2 } } - 1 \right|=\frac{\left| n^{2}-n -\sqrt{n ^{4}+2 } \right|}{ \sqrt{n ^{4}+2 } }\le \frac{\left| n^{2}-n -\sqrt{n ^{4}+2 } \right|}{ \sqrt{n ^{4}+0 } } =\frac{\left|\frac{ \left( n^{2}-n -\sqrt{n ^{4}+2 }\right)\left( n^{2}-n +\sqrt{n ^{4}+2 }\right) }{ n^{2}-n +\sqrt{n ^{4}+2 }} \right|}{ n^2 } }=\\=\frac{\left| -2n^3+n^2-2\right| }{n^2\cdot \left( n^{2}-n +\sqrt{n ^{4}+2 }\right)}=\frac{2n^3-n^2+2 }{n^2\cdot \left( n^{2}-n +\sqrt{n ^{4}+2 }\right)}\le\frac{2n^3-0+2n^3}{n^2\cdot \left( n^{2}-n^2 +\sqrt{n ^{4}+0 }\right)}=\\=\frac{4n^3 }{ n^4}\right)}=\frac{4}{n}.}\)

Oczywiście należy widzieć, dlaczego w niektórych miejscach mogłem opuścić wartości bezwzględne.

Jednak bez tego pojęcia rozwiązanie wydaje mi się trochę sztuczne. Ktokolwiek studiuje matematykę, pojęcie granicy zna.

Nie bądź taki pewny, to jest początek pierwszego semestru... W tym zadaniu chodzi raczej o wyrobienie poprawnych nawyków dotyczących szacowania wyrażeń.

JK

[kacpersowinski]

Dziękuję za to rozwiązanie ! teraz wszystko zrozumiałem skąd się wszystko bierze