Problem z obrazem funkcji, moduły

[Debet]

Niech \(\displaystyle{ N_1,N_2}\) będą podmodułami \(\displaystyle{ M.}\) Niech \(\displaystyle{ f:N_1\rightarrow M/N_2,f(m)=m+N_2}\).
Chciałbym wyznaczyć obraz funkcji \(\displaystyle{ f.}\)
Doszedłem do tego, że \(\displaystyle{ Imf=\{m+N_2:m\in N_1\}=N_1/N_2.}\)
Zostałem wyprowadzony z błędu bo niekoniecznie \(\displaystyle{ N_2 \subset N_1.}\)
Podobno \(\displaystyle{ Imf=(N_1+N_2)/N_2}\) jednak nie umiem tego zrozumieć i pytam dlaczego.

[bartek118]

Skoro \(\displaystyle{ m \in N_1}\), to \(\displaystyle{ m+N_2 \subset N_1+N_2}\). Jeżeli \(\displaystyle{ m}\) przebiega całe \(\displaystyle{ N_1}\), to otrzymamy cały zbiór \(\displaystyle{ N_1 + N_2}\).