Wykazać, że

[Kaymon]

Niech \(\displaystyle{ a>0}\) i \(\displaystyle{ f: [0,a] \to \mathbb{R}}\) będzie funkcją ciągłą i ściśle rosnącą, \(\displaystyle{ f(0)=0}\).
Wykazać, że
\(\displaystyle{ \int_{0}^{a} f + \int_{0}^{f(a)} f^{-1} = af(a)}\)


Zrobiłem w przypadku, gdy f jest funkcją różniczkowalną (wziąłem funkcję pomocniczą \(\displaystyle{ \varphi (x)=\int_{0}^{a} f + \int_{0}^{f(a)} g(y) - af(a)}\), a następnie ją zróżniczkowałem przy założeniu, że \(\displaystyle{ \varphi(0)=0}\)
Nie mogę jednak wpaść na to co począć w przypadku, gdy f niekoniecznie jest funkcją różniczkowalną.
Jakieś sugestie?

[Premislav]

Cześć, zobacz tutaj, przyda się:

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Integral_of_inverse_functions

[Kaymon]

Podstawiłem wzór na całkę odwrotną \(\displaystyle{ \int f^{-1}(y)\,dy= y f^{-1}(y)-F\circ f^{-1}(y)+C}\), ale doprowadziło mnie do jedynie do \(\displaystyle{ -F(0)+f(a)*a}\). Nie wiem jak poradzić sobie z tą funkcją pierwotną.

[Premislav]

Jeżeli \(\displaystyle{ F(t)= \int_{0}^{t}f(x)\,\dd x}\), to ile to może być \(\displaystyle{ F(0)}\)

[Kaymon]

Matko, nie było pytania
Dzięki za pomoc!