Stosunek objętości granistosłupów

[matematykipatyk]

Daną kulę można wpisać w pewien graniastosłup prawidłowy trójkątny oraz pewien graniastosłup prawidłowy czworokątny. Uzasadnij , że stosunek objętości tych graniastosłupów jest równy \(\displaystyle{ \frac{3 \sqrt{3} }{4}}\).

[kerajs]

Przy równych wysokościach ten stosunek to stosunek pól podstaw.
Trójkąt równoboczny ma taki bok \(\displaystyle{ a}\) że: \(\displaystyle{ R=\frac{1}{3} \frac{a \sqrt{3} }{2} \Rightarrow a=2 \sqrt{3} R}\)
Bok kwadratu to \(\displaystyle{ 2R}\)
\(\displaystyle{ \frac{V_3}{V_4}= \frac{P_3 \cdot h}{P_4 \cdot h}= \frac{ \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} }{4R^2} = \frac{ \frac{(2 \sqrt{3} R)^2 \sqrt{3} }{4} }{4R^2}= \frac{3 \sqrt{3} }{4}}\)