Nierówność klasyczna z czwórką

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że gdy \(\displaystyle{ 1 \leq a, b, c, d \leq 2}\) to \(\displaystyle{ \frac{a+b}{b+c} + \frac{c+d}{d+a} \leq 4 \frac{a+c}{b+d}}\)

[Premislav]

Zauważmy, że przy założeniach zadania zachodzą nierówności:
\(\displaystyle{ \frac{a+b}{b+c}\le \frac{2c+2a+b-d}{b+d}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \frac{c+d}{d+a}\le \frac{2c+2a+d-b}{b+d}}\)
Dla ustalenia uwagi pokażę tę pierwszą, drugą udowadnia się tak samo:
\(\displaystyle{ \frac{a+b}{b+c}\le \frac{2c+2a+b-d}{b+d}}\)
Przy założeniach zadania jest
\(\displaystyle{ \frac{2}{b+d}>\frac{1}{b+c}}\),więc funkcja
\(\displaystyle{ f(a)=\frac{a+b}{b+c}- \frac{2c+2a+b-d}{b+d}}\) jest malejąca w przedziale \(\displaystyle{ [1,2]}\), aby więc sprawdzić, że w tym przedziale zachodzi \(\displaystyle{ f(a)\le 0}\), wystarczy wykazać, że \(\displaystyle{ f(1)\le 0}\), czyli że
\(\displaystyle{ \frac{1+b}{b+c}- \frac{2c+2+b-d}{b+d}\le 0}\)
Potraktujmy lewą stronę jak funkcję \(\displaystyle{ g(c)=\frac{1+b}{b+c}- \frac{2c+2+b-d}{b+d}}\) przy ustalonych \(\displaystyle{ b,d\in [1,2]}\). Mamy \(\displaystyle{ g''(c)= \frac{2(1+b)}{(b+c)^3} >0}\) dla \(\displaystyle{ c\in[1,2]}\),
zatem \(\displaystyle{ g}\) jest wypukła w rozważanym przedziale, czyli przyjmuje największą wartość na tym przedziale w jednym z jego końców. Wystarczy więc sprawdzić, że
\(\displaystyle{ g(1)\le 0}\) oraz \(\displaystyle{ g(2)\le 0}\).
Nierówność \(\displaystyle{ g(1)\le 0}\) udowadniamy tak: wychodzimy od
\(\displaystyle{ d\le 2\\ d\le 4-d\\ b+d\le 4+b-d\\ 1\le \frac{4+b-d}{b+d}\\ 1- \frac{4+b-d}{b+d}\le 0}\)
Nierówność \(\displaystyle{ g(2)\le 0}\), czyli
\(\displaystyle{ \frac{1+b}{b+2}- \frac{6+b-d}{b+d}\le 0}\)
sprowadza się do
\(\displaystyle{ (1+b)(b+d)\le (6+b-d)(b+2)}\)
dla \(\displaystyle{ b,d\in[1,2]}\), a prawdziwość tej ostatniej sprowadzamy do przypadku \(\displaystyle{ d=2}\), dostając trywialną \(\displaystyle{ (1+b)(b+2)\le (4+b)(b+2)}\).
Dodając stronami wspomniane na początku dwie nierówności, otrzymujemy tezę zadania.
Równość w nierówności zachodzi np. (chyba tylko) dla \(\displaystyle{ a=c=1, \ b=d=2}\).

[Zahion]

\(\displaystyle{ \frac{c+d}{d+a}\le \frac{2c+2a+d-b}{b+d}}\)
Szybciej będzie przekształcić to do postaci \(\displaystyle{ c\left( 2a - b\right) + a\left( 2a - b\right) + d\left( 3a + c - 2b\right) \ge 0}\).
A jak wpadłeś na ten lemacik ?

[Premislav]

Dobre, na to nie wpadłem, dzięki.
Ten lemat wyciągnąłem totalnie znikąd jedząc podwieczorek. Chciałem kombinować z wypukłością (chyba w KMDO około 2016 roku widziałem coś takiego, ale mogło mi się pomylić), by sprowadzić do trywialnych nierówności na dwóch/jednej zmiennej, ale trochę by mi w tym przeszkadzały zmienne i w licznikach, i w mianownikach (mogłaby być konieczność rozważania przypadków), więc poszukałem „rozbicia" na w pewien sposób cykliczne (tak że gdy zamienimy \(\displaystyle{ a}\) z \(\displaystyle{ c}\) i \(\displaystyle{ b}\) z \(\displaystyle{ d}\), to z jednej uzyskamy drugą) nierówności i tu strzelałem. Dlaczego \(\displaystyle{ b-d}\), a nie na przykład \(\displaystyle{ 2(b-d)}\) itd. Żeby po wymnożeniu skróciło się to \(\displaystyle{ b^2}\) etc. Nie miałem gwarancji, że to zadziała, ale zadziałało.