3 punkty na okregu maja stworzyc trojkat rozwartokatny

[Elek112]

Na okregu jednostkowym wybieramy losowo niezaleznie trzy punkty \(\displaystyle{ A}\),\(\displaystyle{ B}\),\(\displaystyle{ C}\). Obliczyc prawdopodobienstwo, ze wyznaczony przez nie trojkat \(\displaystyle{ ABC}\) jest rozwartokatny

[kerajs]

Niech krótszy łuk AB ma długość \(\displaystyle{ x}\) gdzie \(\displaystyle{ 0 < x < \pi}\).
Rysuję średnice AA' i BB'.
Trójkąt będzie rozwartokątny (incydentalnie prostokątny, co jest pomijalne) gdy punkt punkt C będzie leżał na łuku A'B' zawierającym punkty A i B. Jego długość to \(\displaystyle{ y=2 \pi -x}\) gdzie \(\displaystyle{ 0 < y < 2\pi}\)
Zbiór możliwych zdarzeń to pole prostokąta \(\displaystyle{ \pi \times 2 \pi}\)
Zdarzenia sprzyjające to fragment tego pola poniżej prostej \(\displaystyle{ y=2 \pi -x}\)
Szukane prawdopodobieństwo to stosunek tych pól czyli: \(\displaystyle{ P= \frac{ \frac{3}{2} \pi ^2 }{2 \pi ^2}= \frac{3}{4}}\)