Zbieżność sumy dwóch ciągów funkcyjnych

[camillus25]

Niech \(\displaystyle{ E \subset \RR}\) i \(\displaystyle{ f_{n}, \ g_{n} \in C(E)}\). Załóżmy, że \(\displaystyle{ f_{n}}\) i \(\displaystyle{ g_{n}}\) są jednostajnie zbieżne. Wykaż, że ciąg funkcyjny \(\displaystyle{ f_{n}+g_{n}}\) jest jednostajnie zbieżny.

Czy moje rozumowanie jest poprawne?

Skorzystam tutaj z definicji zbieżności jednostajnej, że \(\displaystyle{ f_{n} \rightarrow f_{0} \Leftrightarrow f_{n} \rightarrow f_{0}}\) w normie \(\displaystyle{ \ \left| \left| \cdot \right| \right|_{ \infty }}\) tzn. \(\displaystyle{ \left| \left| f_{n} - f_{0}\right| \right|_{ \infty } \rightarrow 0}\)

To w takim razie skoro \(\displaystyle{ f_{n} \ i \ g_{n}}\) są zbieżne to \(\displaystyle{ \left| \left| f_{n} - f_{0}\right| \right|_{ \infty } \rightarrow 0 \ i \ \left| \left| g_{n} - g_{0}\right| \right|_{ \infty } \rightarrow 0}\)

\(\displaystyle{ {\left\| f_{n}+g_{n}-(f_{0}+g_{0}) \right\|_{ \infty }= \left\| f_{n}-f_{0}+g_{n}-g_{0} \right\|_{ \infty } \le \left\| f_{n} - f_{0} \right\|_{ \infty } + \left\| g_{n} - g_{0} \right\|_{ \infty } \rightarrow 0}}\),
więc \(\displaystyle{ f_{n}+g_{n}}\) jest zbieżny jednostajnie.

[Dasio11]

Z lekkim przymrużeniem oka, bo bez zwartości \(\displaystyle{ E}\) norma \(\displaystyle{ \| \cdot \|_{\infty}}\) nie jest dobrze określona na całym \(\displaystyle{ C(E)}\), ale tak - jest poprawne.

[janusz47]

Niech \(\displaystyle{ F_{n} = \| f_{n}-f_{0}\| _{\infty}, \ \ G_{n}=\| g_{n} - g_{0}\|_{\infty}}\)

Wtedy

\(\displaystyle{ H_{n} = \| (f_{n}+g_{n})- (f_{0}+g_{0})\| _{\infty}< \| f_{n}-f_{0}\| _{\infty}+ \| g_{n} - g_{0}\|_{\infty}\leq F_{n}+G_{n}}\)

Ale \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}F_{n} = \lim_{n\to \infty} G_{n} = 0.}\)

Skąd \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} H_{n} = 0}\)

Z twierdzenia o trzech ciągach:

\(\displaystyle{ f_{n} + g_{n} \rightrightarrows f_{0} +g_{0}.}\)