Rozwiązuję takie równanie różniczkowe
\(\displaystyle{ X''-\alpha^2X=0 \qquad \text{gdzie } X=X(x), \alpha>0}\)
z warunkami brzegowymi
\(\displaystyle{ X'(0)=0, \quad X'(a)=0 \qquad \text{gdzie } 0<x<a}\)
Całka ogólna to:
\(\displaystyle{ X(x)=c_1 e^{\alpha x} + c_2 e^{-\alpha x}}\)
Korzystając z warunków brzegowych napotykam na pewien problem.
\(\displaystyle{ X'(x) = \alpha c_1 e^{\alpha x} - \alpha c_2 e^{-\alpha x}}\)
\(\displaystyle{ X'(x)=0 \implies \alpha c_1 - \alpha c_2 = 0 \implies c_1=c_2}\)
\(\displaystyle{ X'(a)=0 \implies \alpha c_1 e^{\alpha a} - \alpha c_1 e^{-\alpha a} = 0}\)
\(\displaystyle{ \alpha c_1 e^{\alpha a} = \alpha c_1 e^{-\alpha a} \quad \big/ : \alpha c_1}\)
\(\displaystyle{ e^{\alpha a} = e^{-\alpha a}}\)
\(\displaystyle{ \ln{e^{\alpha a}} = \ln{e^{-\alpha a}}}\)
\(\displaystyle{ \alpha a = -\alpha a \quad \big/ : \alpha a}\)
\(\displaystyle{ 1=-1}\)
Oznacza to sprzeczność i brak rozwiązania dla wskazanych warunków brzegowych? Czy coś źle zrobiłem? Proszę o pomoc.
Warunki brzegowe
-
- Administrator
- Posty: 34294
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Warunki brzegowe
Nie za dużo tych równości?insanis pisze:\(\displaystyle{ X''=-\alpha^2X=0 \qquad \text{gdzie } X=X(x), \alpha>0}\)
A kto Ci pozwolił tak dzielić? Skąd wiesz, że nie dzielisz przez zero?insanis pisze:\(\displaystyle{ \alpha c_1 e^{\alpha a} = \alpha c_1 e^{-\alpha a} \quad \big/ : \alpha c_1}\)
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 147
- Rejestracja: 26 paź 2014, o 13:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 33 razy
Warunki brzegowe
1) PoprawioneJan Kraszewski pisze:Nie za dużo tych równości?insanis pisze:\(\displaystyle{ X''=-\alpha^2X=0 \qquad \text{gdzie } X=X(x), \alpha>0}\)
A kto Ci pozwolił tak dzielić? Skąd wiesz, że nie dzielisz przez zero?insanis pisze:\(\displaystyle{ \alpha c_1 e^{\alpha a} = \alpha c_1 e^{-\alpha a} \quad \big/ : \alpha c_1}\)
JK
2) Faktycznie. Myślałem o \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ a}\) a nie pomyślałem o tym, że \(\displaystyle{ c_1}\) może być równe 0
Dziękuję