Jesteśmy w przestrzeni metrycznej \(\displaystyle{ \left( X,\rho\right)}\), \(\displaystyle{ A \subseteq X}\)
Udowodnić
\(\displaystyle{ \Int (\Int (A))=\Int (A)}\)
Z lewej do prawej zawieranie jest jasne, jak w drugą?
\(\displaystyle{ \Int (F \cup \Int (A)) = \Int (F \cup A)}\) przy założeniu że zbiór \(\displaystyle{ F}\) jest domknięty. Tutaj nie chcę kłamać, do czego ten warunek że \(\displaystyle{ F}\) jest domknięty?
Własności wnętrza
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10261
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2381 razy
Re: Własności wnętrza
\(\displaystyle{ \mathrm{int}( \mathrm{int} \, A )}\) jest największym zbiorem otwartym zawartym w \(\displaystyle{ \mathrm{int} \, A}\). A \(\displaystyle{ \mathrm{int} \, A}\) jest pewnym takim zbiorem...
A umiesz pokazać bez tego założenia?Rafsaf pisze:\(\displaystyle{ \Int (F \cup \Int (A)) = \Int (F \cup A)}\) przy założeniu że zbiór \(\displaystyle{ F}\) jest domknięty. Tutaj nie chcę kłamać, do czego ten warunek że \(\displaystyle{ F}\) jest domknięty?
- Rafsaf
- Użytkownik
- Posty: 466
- Rejestracja: 19 lut 2017, o 11:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Podkarpacie/Wrocław
- Podziękował: 54 razy
- Pomógł: 80 razy
Re: Własności wnętrza
Znaczy rozumiem oczywistość równości \(\displaystyle{ \Int (\Int (A))=\Int (A)}\) ale myślałem czy można to tak zrobić że "ustalmy \(\displaystyle{ x \in \Int (A)}\), czary mary i mamy \(\displaystyle{ x \in \Int (\Int (A))}\)" bez odwoływania się do definicji wnętrza (którą de facto poznam jutro, to zadanie jest chyba po to żeby "pomacać" te obiekty)
Co do drugiego, to nie, nie umiem tego zrobić, ale zastanawiałem się w czym domknięcie miałoby pomóc(inaczej co otwarcie miałoby zepsuć)
Pierwsze zawieranie robię tak:
\(\displaystyle{ \subseteq}\)
dla dowolnego \(\displaystyle{ x \in \Int(F \cup \Int(A))}\) mamy
że dla pewn \(\displaystyle{ r>0}\)
\(\displaystyle{ B(r,x) \subseteq F \cup \Int(A) \subseteq F \cup A}\) czyli \(\displaystyle{ x \in \Int(A \cup F)}\)
A drugie zawieranie wygląda mi na nieprawdziwe
Co do drugiego, to nie, nie umiem tego zrobić, ale zastanawiałem się w czym domknięcie miałoby pomóc(inaczej co otwarcie miałoby zepsuć)
Pierwsze zawieranie robię tak:
\(\displaystyle{ \subseteq}\)
dla dowolnego \(\displaystyle{ x \in \Int(F \cup \Int(A))}\) mamy
że dla pewn \(\displaystyle{ r>0}\)
\(\displaystyle{ B(r,x) \subseteq F \cup \Int(A) \subseteq F \cup A}\) czyli \(\displaystyle{ x \in \Int(A \cup F)}\)
A drugie zawieranie wygląda mi na nieprawdziwe
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10261
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2381 razy
Re: Własności wnętrza
Pewnie że można. Ustalmy \(\displaystyle{ x \in \mathrm{int} \, A}\). Wtedy istnieje \(\displaystyle{ r > 0}\), takie że \(\displaystyle{ B(x, r) \subseteq A}\). Wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ B(x, r) \subseteq \mathrm{int} \, A}\), bo wtedy z definicji \(\displaystyle{ x \in \mathrm{int}(\mathrm{int} \, A)}\).
Ustalmy \(\displaystyle{ y \in B(x, r)}\). Wtedy \(\displaystyle{ d(x, y) < r}\), więc \(\displaystyle{ s := r - d(x, y) > 0}\). Z nierówności trójkąta łatwo pokazać, że \(\displaystyle{ B(y, s) \subseteq B(x, r)}\), a zatem \(\displaystyle{ B(y, s) \subseteq A}\), czyli \(\displaystyle{ y \in \mathrm{int} \, A}\).
Co do drugiego: \(\displaystyle{ \mathrm{int}(F \cup A) \setminus F \subseteq (F \cup A) \setminus F \subseteq A}\) i z uwagi na domkniętość \(\displaystyle{ F}\) zbiór po lewej stronie jest otwarty, zatem \(\displaystyle{ \mathrm{int}(F \cup A) \setminus F \subseteq \mathrm{int} \, A}\), stąd \(\displaystyle{ \mathrm{int}(F \cup A) \subseteq F \cup \mathrm{int} \, A}\). Znów zbiór po lewej stronie jest otwarty, toteż \(\displaystyle{ \mathrm{int}(F \cup A) \subseteq \mathrm{int}( F \cup \mathrm{int} \, A )}\).
A bezpośrednim rachunkiem: weźmy \(\displaystyle{ x \in \mathrm{int}( F \cup A )}\). Wtedy istnieje \(\displaystyle{ r > 0}\), takie że \(\displaystyle{ B(x, r) \subseteq F \cup A}\). Wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ B(x, r) \subseteq F \cup \mathrm{int}(A)}\). Wobec tego ustalmy dowolny \(\displaystyle{ y \in B(x, r)}\). Jeśli \(\displaystyle{ y \in F}\), to dobrze. Jeśli nie, to z domkniętości \(\displaystyle{ F}\) istnieje takie \(\displaystyle{ s > 0}\), że \(\displaystyle{ B(y, s) \cap F = \varnothing}\). Możemy dodatkowo założyć, że \(\displaystyle{ B(y, s) \subseteq B(x, r)}\), a więc \(\displaystyle{ B(y, s) \subseteq (F \cup A) \setminus F \subseteq A}\), czyli \(\displaystyle{ y \in \mathrm{int} \, A}\).
Ustalmy \(\displaystyle{ y \in B(x, r)}\). Wtedy \(\displaystyle{ d(x, y) < r}\), więc \(\displaystyle{ s := r - d(x, y) > 0}\). Z nierówności trójkąta łatwo pokazać, że \(\displaystyle{ B(y, s) \subseteq B(x, r)}\), a zatem \(\displaystyle{ B(y, s) \subseteq A}\), czyli \(\displaystyle{ y \in \mathrm{int} \, A}\).
Co do drugiego: \(\displaystyle{ \mathrm{int}(F \cup A) \setminus F \subseteq (F \cup A) \setminus F \subseteq A}\) i z uwagi na domkniętość \(\displaystyle{ F}\) zbiór po lewej stronie jest otwarty, zatem \(\displaystyle{ \mathrm{int}(F \cup A) \setminus F \subseteq \mathrm{int} \, A}\), stąd \(\displaystyle{ \mathrm{int}(F \cup A) \subseteq F \cup \mathrm{int} \, A}\). Znów zbiór po lewej stronie jest otwarty, toteż \(\displaystyle{ \mathrm{int}(F \cup A) \subseteq \mathrm{int}( F \cup \mathrm{int} \, A )}\).
A bezpośrednim rachunkiem: weźmy \(\displaystyle{ x \in \mathrm{int}( F \cup A )}\). Wtedy istnieje \(\displaystyle{ r > 0}\), takie że \(\displaystyle{ B(x, r) \subseteq F \cup A}\). Wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ B(x, r) \subseteq F \cup \mathrm{int}(A)}\). Wobec tego ustalmy dowolny \(\displaystyle{ y \in B(x, r)}\). Jeśli \(\displaystyle{ y \in F}\), to dobrze. Jeśli nie, to z domkniętości \(\displaystyle{ F}\) istnieje takie \(\displaystyle{ s > 0}\), że \(\displaystyle{ B(y, s) \cap F = \varnothing}\). Możemy dodatkowo założyć, że \(\displaystyle{ B(y, s) \subseteq B(x, r)}\), a więc \(\displaystyle{ B(y, s) \subseteq (F \cup A) \setminus F \subseteq A}\), czyli \(\displaystyle{ y \in \mathrm{int} \, A}\).