Istnienie kuli w przestrzeni metrycznej
-
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 9 paź 2017, o 23:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
Istnienie kuli w przestrzeni metrycznej
Podczas czytania pewnego artykułu matematycznego, natrafiłem na miejsce w dowodzie, którego nie umiem przejść. Załóżmy, że \(\displaystyle{ (X,d)}\) jest przestrzenią metryczną (ośrodkową i zupełną, ale nie wiem czy to ważne w moim pytaniu) oraz \(\displaystyle{ A\subset X}\) jest otwarty i niepusty. Zdefiniujmy \(\displaystyle{ Y:=cl A}\). Załóżmy, że istnieje zbiór \(\displaystyle{ V\subset Y}\) otwarty i niepusty w przestrzeni Y. Autor artykułu twierdzi, że wtedy istnieje kula otwarta \(\displaystyle{ B}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ (X,d)}\) taka, że \(\displaystyle{ B \subset V}\). Proszę o pomoc w dowodzie, o ile to jest w ogóle prawda.
-
- Użytkownik
- Posty: 2282
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Istnienie kuli w przestrzeni metrycznej
Definicja zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej się kłania.
Rodzina kul otwartych jest bazą topologii. Skoro \(\displaystyle{ V}\) jest otwarty i niepusty, to istnieje \(\displaystyle{ x\in V}\) i wprost z definicji bazy istnieje zbiór bazowy \(\displaystyle{ B}\) (czyli kula otwarta) taki, że \(\displaystyle{ x\in B\subset V}\).
Rodzina kul otwartych jest bazą topologii. Skoro \(\displaystyle{ V}\) jest otwarty i niepusty, to istnieje \(\displaystyle{ x\in V}\) i wprost z definicji bazy istnieje zbiór bazowy \(\displaystyle{ B}\) (czyli kula otwarta) taki, że \(\displaystyle{ x\in B\subset V}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 9 paź 2017, o 23:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
Re: Istnienie kuli w przestrzeni metrycznej
Ja mogę napisać, że dokładność się kłania Ja akurat definicję znam i to dobrze. Proszę zauważyć, że ta kula istnieje w przestrzeni \(\displaystyle{ Y}\), to nie jest to samo co kula w przestrzeni \(\displaystyle{ X}\). A w tezie chodzi o istnienie kuli w przestrzeni \(\displaystyle{ X}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 2282
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Istnienie kuli w przestrzeni metrycznej
Ale palnąłem gafę. Po chwili namysłu mam rozwiązanie. Wszystkie domknięcia i wnętrza są w przestrzeni \(\displaystyle{ X}\)
Udowodnimy, że \(\displaystyle{ \mathrm{int}V\neq\emptyset}\).
Skoro \(\displaystyle{ V}\) jest otwarty w \(\displaystyle{ \mathrm{cl}A}\), to istnieje zbiór \(\displaystyle{ U}\) otwarty w \(\displaystyle{ X}\) taki, że
\(\displaystyle{ V=U\cap\mathrm{cl}A}\)
Z założenia \(\displaystyle{ V\neq\emptyset}\). Jedna z charakteryzacji domknięcia gwarantuje w tej sytuacji, że \(\displaystyle{ U\cap A\neq\emptyset}\).
Ponadto ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest otwarty mamy
\(\displaystyle{ A=\mathrm{int}A\subset \mathrm{int}\mathrm{cl}A}\)
Ostatecznie
\(\displaystyle{ \emptyset\neq U\cap A\subsetU\subset U\cap\mathrm{int}\mathrm{cl}A=\mathrm{int}U\cap\mathrm{int}\mathrm{cl}A=\mathrm{int}(U\cap\mathrm{cl}A)=\mathrm{int}V}\)
Udowodnimy, że \(\displaystyle{ \mathrm{int}V\neq\emptyset}\).
Skoro \(\displaystyle{ V}\) jest otwarty w \(\displaystyle{ \mathrm{cl}A}\), to istnieje zbiór \(\displaystyle{ U}\) otwarty w \(\displaystyle{ X}\) taki, że
\(\displaystyle{ V=U\cap\mathrm{cl}A}\)
Z założenia \(\displaystyle{ V\neq\emptyset}\). Jedna z charakteryzacji domknięcia gwarantuje w tej sytuacji, że \(\displaystyle{ U\cap A\neq\emptyset}\).
Ponadto ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest otwarty mamy
\(\displaystyle{ A=\mathrm{int}A\subset \mathrm{int}\mathrm{cl}A}\)
Ostatecznie
\(\displaystyle{ \emptyset\neq U\cap A\subsetU\subset U\cap\mathrm{int}\mathrm{cl}A=\mathrm{int}U\cap\mathrm{int}\mathrm{cl}A=\mathrm{int}(U\cap\mathrm{cl}A)=\mathrm{int}V}\)
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10211
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2359 razy
Re: Istnienie kuli w przestrzeni metrycznej
Zamiast tego można było napisać, że \(\displaystyle{ U \cap A}\) jest otwarty i \(\displaystyle{ U \cap A \subseteq V}\), więc \(\displaystyle{ \varnothing \neq U \cap A \subseteq \mathrm{int} \, V}\).matmatmm pisze:Ponadto ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest otwarty mamy
\(\displaystyle{ A=\mathrm{int}A\subset \mathrm{int}\mathrm{cl}A}\)
Ostatecznie
\(\displaystyle{ \emptyset\neq U\cap A\subsetU\subset U\cap\mathrm{int}\mathrm{cl}A=\mathrm{int}U\cap\mathrm{int}\mathrm{cl}A=\mathrm{int}(U\cap\mathrm{cl}A)=\mathrm{int}V}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 9 paź 2017, o 23:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
Istnienie kuli w przestrzeni metrycznej
matmatmm dziękuję za rozwiązanie a Dasio11 dziękuję za uproszczenie