Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej k

[Michal2115]

Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej k liczba \(\displaystyle{ k ^{6}-2k ^{4}+k ^{2}}\). jest podzielna przez \(\displaystyle{ 36}\).

I mam pytanie, czy rozwiązałem to zadanie dobrze i zapis nie wadzi i dostałbym za to maksymalną ilość punktów?

Nie jestem pewny czy mogłem wstawić ten znak większości a nie wiem czy sam zapis bez niego linijka pod linijką byłby poprawny.

\(\displaystyle{ k ^{6}-2k ^{4}+k ^{2} \ge 0 \\
t=k ^{2} \\
t \ge 0 \\
t ^{3} -2t ^{2} +t \ge 0 \\
t(t ^{2} -2t+1) \ge 0 \\
t(t-1) ^{2} \ge 0 \\
k ^{2} (k-1) ^{2} (k+1) ^{2} \ge 0 \\
\left[ k(k-1)(k+1)\right] ^{2} \ge 0}\)
\(\displaystyle{ (k-1)k(k+1)}\) - trzy kolejne liczby całkowite. Wśród nich jedna liczba na pewno dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\) i co najmniej jedna przez \(\displaystyle{ 2}\).

\(\displaystyle{ m}\)-liczba całkowita
\(\displaystyle{ (k-1)k(k+1)=6m \\
\left[ k(k-1)(k+1)\right] ^{2}=(6m) ^{2} \\
\left[ k(k-1)(k+1)\right] ^{2}=36m ^{2}}\)
Czy to zadanie jest rozwiązane poprawnie i mogłem zastosować ten znak większy lub równy? Bo nie wiedziałem czy pisać każdy pod sobą bez równania czy może po znaku równości wszystko... help

[Janusz Tracz]

Jest ok. Nie jest koniecznym udowadnianie, że liczba ta jest nieujemna. Liczy całkowite ujemne też mogą się dzielić bez reszty.-- 23 lut 2019, o 14:23 --Jak dla mnie wystarczyło by tylko

\(\displaystyle{ m}\)-liczba całkowita
\(\displaystyle{ (k-1)k(k+1)=6m}\)
\(\displaystyle{ [k(k-1)(k+1)] ^{2}=(6m) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ [k(k-1)(k+1)] ^{2}=36m ^{2}}\)

z odpowiednim opisem w stylu: Jako, że mamy po lewej stronie iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych to jest on podzielany przez \(\displaystyle{ 6}\). A zatem istnieje taka liczba całkowita \(\displaystyle{ m}\), że... i tu to co napisałeś.

[pasman]

Nie jestem pewny czy mogłem wstawić ten znak większości a nie wiem czy sam zapis bez niego linijka pod linijką byłby poprawny.

nie wolno było ci wstawiać znaku większości, bo nie ma tego w treści zadania.

[Dudenzz]

Im prościej tym lepiej. To prawda, że uzyskana liczba jest dodatnia, ale co z tego?

Dla każdej liczby całkowitej k, istnieje taka liczba całkowita c, że
\(\displaystyle{ k^6-2k^4+k^2=k^2(k^4-2k^2+1)=k^2(k^2-1)^2=k^2(k-1)^2(k+1)^2=((k-1)k(k+1))^2=(6c)^2=36c^2}\)
Wynika to z faktu, że wśród trzech następujących po sobie liczb całkowitych istnieje co najmniej jedna, która jest podzielna przez dwa oraz dokładnie jedna, która jest podzielna przez trzy, w związku z tym, iloczyn trzech następujących po sobie liczb jest podzielny przez 6, co możemy zapisać jako \(\displaystyle{ (k-1)k(k+1)=6c}\).