Rozwiąż równanie
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Rozwiąż równanie
No nie jest skomplikowane , ale może ktoś rozwiązać , rzuciłem go jako odprysk a innego problemu, który rozwiązywałem a , że równanie wydało mi się ładne więc wrzuciłem.
Oryginalnie powinno wyglądać następująco:
\(\displaystyle{ xy'+x^2y''= \frac{1}{2-x}}\)
Celowo go uprościłem ponieważ w tym przypadku wychodzą funkcje specjalne, a ja chciałem oszczędzić to ludziom o słabych nerwach...
Oryginalnie powinno wyglądać następująco:
\(\displaystyle{ xy'+x^2y''= \frac{1}{2-x}}\)
Celowo go uprościłem ponieważ w tym przypadku wychodzą funkcje specjalne, a ja chciałem oszczędzić to ludziom o słabych nerwach...
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Rozwiąż równanie
To równanie liniowe:arek1357 pisze:\(\displaystyle{ xy+x^2y'= \frac{1}{2-x}}\)
\(\displaystyle{ y'+ \frac{1}{x}y= \frac{1}{x^2(2-x)}}\)
o rozwiązaniu:
\(\displaystyle{ y= \frac{K}{x}+ \frac{1}{2x} \ln \left| \frac{x}{x-2}\right|}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 82
- Rejestracja: 10 maja 2017, o 19:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdzieś
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 11 razy
Re: Rozwiąż równanie
Równanie można też rozwiązać graficznie, szkicując wykres lewej i prawej strony równania.
-
- Użytkownik
- Posty: 82
- Rejestracja: 10 maja 2017, o 19:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdzieś
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 11 razy
Re: Rozwiąż równanie
a4karo, Tak.
Lewa strona to zwykła hiperbola. Prawą stronę interpretujmy jako wykres funkcji kwadratowej z parametrami \(\displaystyle{ y, y'}\). Punkty przecięcia to rozwiązania równania.
Lewa strona to zwykła hiperbola. Prawą stronę interpretujmy jako wykres funkcji kwadratowej z parametrami \(\displaystyle{ y, y'}\). Punkty przecięcia to rozwiązania równania.
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Rozwiąż równanie
Myślę, że nie rozumiesz o co chodzi w zadaniu.albanczyk123456 pisze:a4karo, Tak.
Lewa strona to zwykła hiperbola. Prawą stronę interpretujmy jako wykres funkcji kwadratowej z parametrami \(\displaystyle{ y, y'}\). Punkty przecięcia to rozwiązania równania.
Szukamy niewiadomej funkcji \(\displaystyle{ y=y(x)}\), która wstawiona wraz z jej pochodną do równania zmienia je w tożsamość.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Rozwiąż równanie
Może tak:arek1357 pisze:To może jeszcze zrobi ktoś w wersji Hard to równanie...
Ja tego nie mogę robić bo ja to zapodałem, więc niech inni się wykażą...
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \left( \frac{K}{x}+ \frac{1}{2x} \ln \left| \frac{x}{x-2}\right|\right) \mbox{d}x =
K\ln \left| x\right|+ \frac{1}{2} \int_{}^{} \frac{\ln \left| x\right| }{x} \mbox{d}x - \frac{1}{2} \int_{}^{} \frac{\ln \left| x-2\right| }{x} \mbox{d}x =\\=K\ln \left| x\right|+ \frac{\ln^2\left| x\right| }{2}- \frac{1}{2}A(x) +C\\
A(x)= \int_{}^{}\frac{\ln (x-2)}{x} \mbox{d}x =\left[ x= -2t \right] = \int_{}^{}\frac{\ln \left| -2\right| +\ln \left| t+1\right| }{t} \mbox{d}t =\ln 2 \ln \left| t\right| + \int_{}^{} \frac{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^{n+1}t^n}{n} }{t} \mbox{d}t =\\=\ln 2 \ln \left| t\right| +\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^{n+1}t^n}{n^2}=\ln 2 \ln \left| \frac{x}{-2} \right| +\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^{n+1}(\frac{x}{-2})^n}{n^2}}\)