Rozwiąż równanie

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3759
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 87 razy
Pomógł: 367 razy

Rozwiąż równanie

Post autor: arek1357 » 24 lut 2019, o 21:05

\(\displaystyle{ xy+x^2y'= \frac{1}{2-x}}\)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17181
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 2890 razy

Re: Rozwiąż równanie

Post autor: a4karo » 24 lut 2019, o 21:29

\(\displaystyle{ z=xy}\)

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3759
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 87 razy
Pomógł: 367 razy

Re: Rozwiąż równanie

Post autor: arek1357 » 24 lut 2019, o 21:45

I ja mam to rozwiązać ?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17181
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 2890 razy

Re: Rozwiąż równanie

Post autor: a4karo » 24 lut 2019, o 21:53

Jak pytasz, to daję Ci wskazówkę. Nie jest to na tyle skomplikowane zadanie, żeby chwalić się umiejętnością jego rozwiązania.

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3759
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 87 razy
Pomógł: 367 razy

Re: Rozwiąż równanie

Post autor: arek1357 » 24 lut 2019, o 21:58

No nie jest skomplikowane , ale może ktoś rozwiązać , rzuciłem go jako odprysk a innego problemu, który rozwiązywałem a , że równanie wydało mi się ładne więc wrzuciłem.

Oryginalnie powinno wyglądać następująco:

\(\displaystyle{ xy'+x^2y''= \frac{1}{2-x}}\)

Celowo go uprościłem ponieważ w tym przypadku wychodzą funkcje specjalne, a ja chciałem oszczędzić to ludziom o słabych nerwach...

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7248
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 210 razy
Pomógł: 2877 razy

Rozwiąż równanie

Post autor: kerajs » 25 lut 2019, o 05:48

arek1357 pisze:\(\displaystyle{ xy+x^2y'= \frac{1}{2-x}}\)
To równanie liniowe:
\(\displaystyle{ y'+ \frac{1}{x}y= \frac{1}{x^2(2-x)}}\)
o rozwiązaniu:
\(\displaystyle{ y= \frac{K}{x}+ \frac{1}{2x} \ln \left| \frac{x}{x-2}\right|}\)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17181
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 2890 razy

Re: Rozwiąż równanie

Post autor: a4karo » 25 lut 2019, o 08:11

To jest proste całkowanie :

\(\displaystyle{ y+xy'=(xy) '=\frac{1 } {x(2-x)}}\)

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3759
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 87 razy
Pomógł: 367 razy

Re: Rozwiąż równanie

Post autor: arek1357 » 25 lut 2019, o 09:21

To może jeszcze zrobi ktoś w wersji Hard to równanie...

Ja tego nie mogę robić bo ja to zapodałem, więc niech inni się wykażą...

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17181
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 2890 razy

Re: Rozwiąż równanie

Post autor: a4karo » 25 lut 2019, o 09:56

\(\displaystyle{ z=y'}\) i jeszcze jedno całkowanie.

albanczyk123456
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 67
Rejestracja: 10 maja 2017, o 19:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdzieś
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 8 razy

Re: Rozwiąż równanie

Post autor: albanczyk123456 » 25 lut 2019, o 19:27

Równanie można też rozwiązać graficznie, szkicując wykres lewej i prawej strony równania.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17181
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 2890 razy

Re: Rozwiąż równanie

Post autor: a4karo » 25 lut 2019, o 20:07

albanczyk123456 pisze:Równanie można też rozwiązać graficznie, szkicując wykres lewej i prawej strony równania.
Pokażesz?

albanczyk123456
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 67
Rejestracja: 10 maja 2017, o 19:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdzieś
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 8 razy

Re: Rozwiąż równanie

Post autor: albanczyk123456 » 25 lut 2019, o 21:16

a4karo, Tak.
Lewa strona to zwykła hiperbola. Prawą stronę interpretujmy jako wykres funkcji kwadratowej z parametrami \(\displaystyle{ y, y'}\). Punkty przecięcia to rozwiązania równania.

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3759
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 87 razy
Pomógł: 367 razy

Re: Rozwiąż równanie

Post autor: arek1357 » 25 lut 2019, o 23:04

pokaż jak powiedział a4karo, ja dalej tego nie widzę , zaczyna się dziać coś ciekawego...

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17181
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 2890 razy

Re: Rozwiąż równanie

Post autor: a4karo » 26 lut 2019, o 06:54

albanczyk123456 pisze:a4karo, Tak.
Lewa strona to zwykła hiperbola. Prawą stronę interpretujmy jako wykres funkcji kwadratowej z parametrami \(\displaystyle{ y, y'}\). Punkty przecięcia to rozwiązania równania.
Myślę, że nie rozumiesz o co chodzi w zadaniu.
Szukamy niewiadomej funkcji \(\displaystyle{ y=y(x)}\), która wstawiona wraz z jej pochodną do równania zmienia je w tożsamość.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7248
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 210 razy
Pomógł: 2877 razy

Rozwiąż równanie

Post autor: kerajs » 28 lut 2019, o 09:01

arek1357 pisze:To może jeszcze zrobi ktoś w wersji Hard to równanie...

Ja tego nie mogę robić bo ja to zapodałem, więc niech inni się wykażą...
Może tak:

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \left( \frac{K}{x}+ \frac{1}{2x} \ln \left| \frac{x}{x-2}\right|\right) \mbox{d}x = K\ln \left| x\right|+ \frac{1}{2} \int_{}^{} \frac{\ln \left| x\right| }{x} \mbox{d}x - \frac{1}{2} \int_{}^{} \frac{\ln \left| x-2\right| }{x} \mbox{d}x =\\=K\ln \left| x\right|+ \frac{\ln^2\left| x\right| }{2}- \frac{1}{2}A(x) +C\\ A(x)= \int_{}^{}\frac{\ln (x-2)}{x} \mbox{d}x =\left[ x= -2t \right] = \int_{}^{}\frac{\ln \left| -2\right| +\ln \left| t+1\right| }{t} \mbox{d}t =\ln 2 \ln \left| t\right| + \int_{}^{} \frac{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^{n+1}t^n}{n} }{t} \mbox{d}t =\\=\ln 2 \ln \left| t\right| +\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^{n+1}t^n}{n^2}=\ln 2 \ln \left| \frac{x}{-2} \right| +\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^{n+1}(\frac{x}{-2})^n}{n^2}}\)

ODPOWIEDZ