Kwadrat liczby całkowitej niepodzielnej przez 3

Oddzielone od teorii liczb, proste problemy dotyczące zasad dzielenia itp.
Michal2115
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 19 lut 2019, o 17:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 24 razy

Kwadrat liczby całkowitej niepodzielnej przez 3

Post autor: Michal2115 » 22 lut 2019, o 14:59

Wykaż że kwadrat liczby całkowitej niepodzielnej przez 3 przy dzieleniu przez 3 daje reszte 1.

W internecie ciągle znajduje zapis "Liczby niepodzielne przez 3 to \(\displaystyle{ 3n-1}\) oraz \(\displaystyle{ 3n+1}\) ", lecz nie rozumiem trochę dlaczego -- 22 lut 2019, o 15:16 --

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2325
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 65 razy
Pomógł: 705 razy

Re: Kwadrat liczby całkowitej niepodzielnej przez 3

Post autor: Janusz Tracz » 22 lut 2019, o 15:22

Bo liczba niepodzielna przez \(\displaystyle{ 3}\) daję resztę z dzielenia równą \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 2}\) przy czym jak daje \(\displaystyle{ 2}\) to można powiedzieć że wynosi ona \(\displaystyle{ -1}\) jest to równoważne. By dokończyć dowód trzeba podnieść te liczby do kwadratu i zauważyć w jaki sposób się zapisują (wskazówka: jako \(\displaystyle{ 3k+1}\))

Awatar użytkownika
Bratower
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 103
Rejestracja: 26 paź 2017, o 05:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 64 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Kwadrat liczby całkowitej niepodzielnej przez 3

Post autor: Bratower » 22 lut 2019, o 15:22

Liczby niepodzielne przez \(\displaystyle{ 3}\) są w postaci \(\displaystyle{ 3n+1}\) lub \(\displaystyle{ 3n+2}\),\(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\).
Kwadrat liczby niepodzielnej przez \(\displaystyle{ 3}\), to
\(\displaystyle{ (3n+1)^2=9n^2+6n+1=3(3n^2+2n)+\boxed{1}}\) lub
\(\displaystyle{ (3n+2)^2=9n^2+12n+4=3(3n^2+4n+1)+\boxed{1}}\)
Z kongruencji gdy \(\displaystyle{ m}\) daje resztę \(\displaystyle{ 2}\) przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 3}\) to,
\(\displaystyle{ m\equiv 2\equiv-1\bmod 3}\)
\(\displaystyle{ m^2\equiv2^2\equiv1\bmod 3}\)
gdy \(\displaystyle{ m}\) daje resztę \(\displaystyle{ 1}\) przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 3}\), to
\(\displaystyle{ m\equiv1\bmod3\\m^2\equiv1\bmod3}\)
Zapis \(\displaystyle{ 3n-1}\) jest podobny do \(\displaystyle{ 3h+2, n,h\in \mathbb{N}}\)

ODPOWIEDZ