odległość punktu od prostej

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Awatar użytkownika
Bratower
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 103
Rejestracja: 26 paź 2017, o 05:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 64 razy
Pomógł: 2 razy

odległość punktu od prostej

Post autor: Bratower »

Na wykresie funkcji \(\displaystyle{ y=\frac{1}{4}x^4-x^3-5x^2+22x+50}\) znajdź współrzędne punktu A, którego odległość od prostej o równaniu \(\displaystyle{ y=-2x-22}\) jest najmniejsza.
__________________
Moje rozwiązanie i mam pytanie dlaczego to działa w analitycznej?
Podstawiam \(\displaystyle{ y=-2x-22}\) do pierwszej funkcji.
\(\displaystyle{ -2x-22=\frac{1}{4}x^4-x^3-5x^2+22x+50\\
\frac{1}{4}x^4-x^3-5x^2+24x+72=0\\
f(x)=\frac{1}{4}x^4-x^3-5x^2+24x+72\\
f'(x)=0\Leftrightarrow x^3-3x^2-10x+24=0\\
(x-4)(x-2)(x+3)=0}\)

Min lok w \(\displaystyle{ x=-3}\), podstawiam \(\displaystyle{ x=-3}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{1}{4}\cdot81+27-45-66+50=-\frac{55}{4}\\
\begin{cases}x=-3\\y=-\frac{55}{4}\end{cases}}\)

I to jest poprawna odpowiedź. Dlaczego to działa? Dlaczego nie działa jak wstawię \(\displaystyle{ x=-3}\) do \(\displaystyle{ y=-2x-22}\)? Czy zawsze ta metoda zadziała?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: odległość punktu od prostej

Post autor: a4karo »

Może i ten wynik jest oczekiwany przez układającego zadanie, ale nie jest on rozwiązaniem zadania.
Takie rozwiązanie znajdzie punkty, gdzie odległość wykresów liczona w PIONIE jest najmniejsza. To nie ma nic wspólnego z treścią zadania, w którym chodzi o odległość punktu na krzywej od prostej - tę odległość mierzy się w kierunku prostopadłym do prostej.
Awatar użytkownika
Bratower
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 103
Rejestracja: 26 paź 2017, o 05:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 64 razy
Pomógł: 2 razy

Re: odległość punktu od prostej

Post autor: Bratower »

Czyli jakbym na maturze tak rozwiązał zadanie to nie byłoby zaliczone na max pkt?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: odległość punktu od prostej

Post autor: Jan Kraszewski »

Takiego zadania nie byłoby na maturze, ale ja dałbym za takie rozwiązanie zero punktów, bo to jest rozwiązanie innego zadania.

JK
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: odległość punktu od prostej

Post autor: a4karo »

a4karo pisze:Może i ten wynik jest oczekiwany przez układającego zadanie, ale nie jest on rozwiązaniem zadania.
Takie rozwiązanie znajdzie punkty, gdzie odległość wykresów liczona w PIONIE jest najmniejsza. To nie ma nic wspólnego z treścią zadania, w którym chodzi o odległość punktu na krzywej od prostej - tę odległość mierzy się w kierunku prostopadłym do prostej.
Autokorekta: Trochę wspólnego ma, ale wymaga to pewnego uzasadnienia:

Po pierwsze, trzeba pokazać, że wykres funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{4}x^4-x^3-5x^2+22x+50}\) leży zawsze nad wykresem funkcji \(\displaystyle{ l(x)=-2x-22}\)

Niech \(\displaystyle{ L(x)=(x,l(x)),\ F(x)=(x,f(x))}\) a \(\displaystyle{ P(x)}\) będzie rzutem punktu \(\displaystyle{ F(x)}\) na prostą \(\displaystyle{ l}\). Wtedy \(\displaystyle{ d(P(x),F(x))=d(F(x),L(x))|\cos\alpha|}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem nachylenia prostej \(\displaystyle{ l}\) do osi \(\displaystyle{ OX}\).
Z tej równości wynika, że odległość punktu na wykresie funkcji \(\displaystyle{ f}\) od prostej \(\displaystyle{ l}\) jest proporcjonalna do odległości tych krzywej od prostej w pionie.
ODPOWIEDZ