pochodna w kierunku gradientu

[tomek11]

Obliczyć pochodną funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{x^{2}+y^{2}+1}{x+y+1}}\) w punkcie P(0,0) w kierunku gradientu w tym punkcie.

nie rozumiem za bardzo polecenia

[Kamil_B]

Gradient to wektor, który wyraża się wzorem

\(\displaystyle{ grad(f)= \left ( \frac{ \partial f}{ \partial x} ,\frac{ \partial f}{ \partial x}\right )}\)

Jesli pochodne cząstkowe są ciągłe to pochodna kierunkowa wyrażą się przez iloczyn skalarny gradientu i wektora w kierunku, którego liczymy tą pochodną (czyli w tym przypadku również gradientu):

\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial \vec{v}}(P)=gradf(P) \circ \vec{v}}\)

gdzie \(\displaystyle{ \vec{v}=gradf(P)}\)

[tomek11]

wiem co to gradient i jak sie oblicza, tylko nie rozumiem jak to zrobic w tym przypadku jak nie ma wektora

[Kamil_B]

w kierunku gradientu w tym punkcie.

Czyli naszym wektorem jest po prostu gradient funkcji f w tym punkcie.

[tomek11]

gradient wyszedl skomplikowany, ale po podstawieniu punktu 0,0
ostatecznie wyszlo grad f=[-1,-1] czyli to jest jakis wektor np v.
i nie wiem czy teraz dobrze mysle ale
\(\displaystyle{ | \vec{v} |= \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ |\vec{v}| }{v}=[ -\frac{ \sqrt{2} }{2} ,\frac{ -\sqrt{2} }{2}]}\)
i potem mnozac skalarnie grad f i powyzszy wersor
\(\displaystyle{ [-1,-1] \cdot [ -\frac{ \sqrt{2} }{2} ,\frac{ -\sqrt{2} }{2}]= \sqrt{2}}\)
dobrze?

[Kamil_B]

Jak dla mnie ok

[tomek11]

z odpowiedzia sie zgadza, ale chcialem sie upewnic czy dobry sposob liczenia.
dzieki wielkie za pomoc