Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
. W każdym trzeba udowodnić równość czerwonych odcinków. Treści zadań nie zostały podane więc załóżmy, że elementem zadania jest też doprecyzowanie treści.
Rysunki oznaczamy podając wiersz i kolumnę.
1. Poprowadzono dwie styczne do danego okręgu, przecinające się w punkcie \(\displaystyle{ P}\). Punkty styczności niech będą odpowiednio \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\). Należy pokazać, że \(\displaystyle{ |AP|=|BP|}\).
Rozwiązanie:
Niech \(\displaystyle{ O}\) będzie środkiem danego okręgu. Promień opuszczony na styczną do okręgu przecina ją pod kątem prostym, więc \(\displaystyle{ \angle OAP = \angle OBP = 90 ^\circ}\). Odcinki \(\displaystyle{ OA}\) i \(\displaystyle{ OB}\) to promienie okręgu, więc \(\displaystyle{ |OA|=|OB|}\). Stosując twierdzenie Pitagorasa otrzymujemy \(\displaystyle{ |AP|=\sqrt {|OP|^2 - |OA|^2} = \sqrt {|OP|^2 - |OB|^2} = |BP|}\), co należało dowieść.