Znajdź odpowiedź impulsową. Jak obliczyć? - Wyjaśnienie

[Malwa1x]

Witam.
Proszę o pomoc przede wszystkim w wytłumaczeniu jak dokończyć dane zadanie, jakie kroki wykonać.
Sama potrafię je zrobić do momentu wyliczenia p,q delty oraz f(x), dalej po prostu nie wiem skąd co się bierze. Zakres materiału jest z Automatyki ale ponoć jest to proste zadanie.

Układ wygląda tak:



>(X)----[\(\displaystyle{ frac{1}{s+1}}\)]--- *-----
|
|
--------------[\(\displaystyle{ frac{1}{4s+4}}\)]--

\(\displaystyle{ Kz= \frac{\frac{1}{s+1}}{1+ \frac{1}{s+1} \cdot \frac{1}{4s+4} }= \frac{ \frac{1}{s+1} }{1+ \frac{1}{(s+1)(4s+4)} } \cdot \frac{(s+1)(4s+4)}{(s+1)(4s+4)}= \frac{4s+4}{(s+1)(4s+4)+1} = \frac{4s+4}{4s^2+4s+4s+4+1} = \frac{4s+4}{4s^2+8s+5}}\)

\(\displaystyle{ \Delta =b^2-4ac}\)

\(\displaystyle{ \Delta =8^2-4 \cdot 4 \cdot 5=64-80=-16}\)

\(\displaystyle{ f(x)=a(x-p)^2+q}\)

\(\displaystyle{ p= \frac{-b}{2a}}\)

\(\displaystyle{ q= \frac{-\Delta }{4a}}\)

\(\displaystyle{ q= \frac{-(-16)}{4 \cdot 4}=1}\)

\(\displaystyle{ p= \frac{-8}{8}=-1}\)

\(\displaystyle{ 4s^2+8s+5=4(s+1)^2+1}\)

\(\displaystyle{ Kz= \frac{4(s+1)}{4(s+1)^2+1}= \frac{s+1}{(s+1)^2+ \frac{1}{4} }}\)

\(\displaystyle{ \omega = 1}\)

\(\displaystyle{ \frac{s-\sigma}{(s-\sigma)^2+\omega^2} \rightarrow \epsilon^\sigma^t \cos \omega t}\)

Odp.
\(\displaystyle{ \epsilon^-^t \cos \frac{1}{4}t}\)


Z góry bardzo dziękuję za udzielona pomoc.
Pozdrawiam

[janusz47]

Znaleźliśmy transmitancję \(\displaystyle{ K(s)}\) przedstawionego na rysunku pewnego układu automatyki na odpowiedź impulsową:

\(\displaystyle{ K(s) = \frac{4s+4}{4s^2 +8s +5}}\)

Aby uzyskać odpowiedź w dziedzinie czasowej \(\displaystyle{ t}\) musimy dokonać przekształcenia odwrotnego Laplace'a. W tym celu sprowadziliśmy trójmian występujący w mianowniku do postaci kanonicznej

\(\displaystyle{ 4s^2 +8s + 5 =4[(s+1)^2 + \frac{1}{4}]}\) żeby móc skorzystać z tablicy odwrotnego przekształcenia Laplace'a, z którą się proszę zpoznać.

Wyłączono \(\displaystyle{ 4}\) z licznika i mianownika transformaty \(\displaystyle{ K(s)}\) i uzyskano

\(\displaystyle{ \mathcal{L}^{-1}\left( \frac{s+1}{(s+1)^2 +\frac{1}{4}}\right)}\)

Porównano ze wzorem odwrotnego przekształcenia Laplace'a dla oryginału:

\(\displaystyle{ \mathcal{L}^{-1}\left( \frac{s+1}{(s+1)^2 +\frac{1}{4}}\right)= e^{-t}\cdot \cos(\left(\frac{1}{4}t\right).}\)

[Malwa1x]

janusz47, Super, bardzo, bardzo dziękuję za pomoc i szczegółowe wyjaśnienie.
Bardzo mi się ta pomoc przydała. Pozdrawiam i życzę wszystkiego dobrego.