Dowód ideałów
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 16 lis 2018, o 12:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
Dowód ideałów
Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sqrt(\sqrt I) = \sqrt I}\), gdzie \(\displaystyle{ I}\) jest ideałem i \(\displaystyle{ \sqrt I=\left\{ a \in P : (\exists n \in \mathbb N)( a^n \in I)\right\}}\).
Wykazać, że \(\displaystyle{ a \in I \Leftrightarrow a + I}\) jest elementem nilpotentnym pierścienia \(\displaystyle{ P/I}\).
Od czego zacząć ? Czy definicja elementu nilpotentnego tutaj jest użyteczna ?
Wykazać, że \(\displaystyle{ a \in I \Leftrightarrow a + I}\) jest elementem nilpotentnym pierścienia \(\displaystyle{ P/I}\).
Od czego zacząć ? Czy definicja elementu nilpotentnego tutaj jest użyteczna ?
- leg14
- Użytkownik
- Posty: 3132
- Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 154 razy
- Pomógł: 475 razy
Dowód ideałów
W drugim punkcie chyba chodziło o to, że \(\displaystyle{ a}\) ma należeć do radykału I?
Proponuję udowodnić to wprost z definicji - nie ma tu nic trudnego. Zacznij, to pociągniemy to razem
Oczywiście - jak inaczej zrozumiesz polecenie?Czy definicja elementu nilpotentnego tutaj jest użyteczna ?
Proponuję udowodnić to wprost z definicji - nie ma tu nic trudnego. Zacznij, to pociągniemy to razem
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 16 lis 2018, o 12:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
Dowód ideałów
Czy mogę ten zbiór opisać tak :
\(\displaystyle{ \sqrt (\sqrt(I)) = \left\{ a \in P: \exists n \in \mathbb N (a^n)^n \in I\right\}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt (\sqrt(I)) = \left\{ a \in P: \exists n \in \mathbb N (a^n)^n \in I\right\}}\)
- karolex123
- Użytkownik
- Posty: 751
- Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: somewhere
- Podziękował: 39 razy
- Pomógł: 127 razy
Re: Dowód ideałów
JakubP-Jzero, nie do końca. Lepiej zapisać tak:
\(\displaystyle{ \sqrt (\sqrt(I)) = \left\{ a \in P: \exists n \in \mathbb N: a^n \in \sqrt I \right\}}\).
Zatem elementy \(\displaystyle{ \sqrt (\sqrt(I))}\) to takie, że istnieje \(\displaystyle{ m \in \NN}\) o tej własności, że dla pewnego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) mamy \(\displaystyle{ (a^n)^m=a^{nm} \in I}\). No ale to oznacza, że...
\(\displaystyle{ \sqrt (\sqrt(I)) = \left\{ a \in P: \exists n \in \mathbb N: a^n \in \sqrt I \right\}}\).
Zatem elementy \(\displaystyle{ \sqrt (\sqrt(I))}\) to takie, że istnieje \(\displaystyle{ m \in \NN}\) o tej własności, że dla pewnego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) mamy \(\displaystyle{ (a^n)^m=a^{nm} \in I}\). No ale to oznacza, że...
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 16 lis 2018, o 12:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
Dowód ideałów
Że mamy \(\displaystyle{ (a^m)^n \in \sqrt I}\) ?
Czy, że \(\displaystyle{ \sqrt I \subset \sqrt(\sqrt I)}\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt(\sqrt I) \subset \sqrt I}\), a to oznacza, że \(\displaystyle{ \sqrt I = \sqrt(\sqrt I)}\) ?
Czy, że \(\displaystyle{ \sqrt I \subset \sqrt(\sqrt I)}\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt(\sqrt I) \subset \sqrt I}\), a to oznacza, że \(\displaystyle{ \sqrt I = \sqrt(\sqrt I)}\) ?
- karolex123
- Użytkownik
- Posty: 751
- Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: somewhere
- Podziękował: 39 razy
- Pomógł: 127 razy
Re: Dowód ideałów
Nie, że \(\displaystyle{ a \in \sqrt I}\). w takim razie mamy dwie inkluzje, które dają żądaną równość
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 16 lis 2018, o 12:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
Re: Dowód ideałów
Dziękuję, a drugi dowód ?
\(\displaystyle{ a \in \sqrt I \Leftrightarrow (\exists n \in \mathbb N)(a^n \in I) \Rightarrow a^n+I=I \Rightarrow a^n+I=(a+I)^n=I \Rightarrow a+I}\) jest elementem nilpotentnym pierścienia \(\displaystyle{ P/I}\) ?
\(\displaystyle{ a \in \sqrt I \Leftrightarrow (\exists n \in \mathbb N)(a^n \in I) \Rightarrow a^n+I=I \Rightarrow a^n+I=(a+I)^n=I \Rightarrow a+I}\) jest elementem nilpotentnym pierścienia \(\displaystyle{ P/I}\) ?
- karolex123
- Użytkownik
- Posty: 751
- Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: somewhere
- Podziękował: 39 razy
- Pomógł: 127 razy
Re: Dowód ideałów
Tak , tam wszędzie mamy równoważnościJakubP-Jzero pisze:Dziękuję, a drugi dowód ?
\(\displaystyle{ a \in \sqrt I \Leftrightarrow (\exists n \in \mathbb N)(a^n \in I) \Rightarrow a^n+I=I \Rightarrow a^n+I=(a+I)^n=I \Rightarrow a+I}\) jest elementem nilpotentnym pierścienia \(\displaystyle{ P/I}\) ?