Rozwiązać równanie

[felek321]

Rozwiązać równanie
\(\displaystyle{ y'=y- \frac{y}{x}-x+2 \\
y(1)=1}\)

[kerajs]

To równanie liniowe:
\(\displaystyle{ y'+( \frac{1}{x}-1 )y=-x+2}\)

Potrafisz je rozwiązać? (wpierw równanie uproszczone, potem uzmiennianie stałej)

[felek321]

To równanie liniowe:
\(\displaystyle{ y'+( \frac{1}{x}-1 )y=-x+2}\)

Potrafisz je rozwiązać? (wpierw równanie uproszczone, potem uzmiennianie stałej)

Wiesz co chyba nie do końca mógłbyś trochę rozwinąć?

[kerajs]

Rozwinąć, czyli rozwiązać?
\(\displaystyle{ y'+( \frac{1}{x}-1 )y=0\\
\frac{y'}{y}=1-\frac{1}{x}\\
\int_{}^{} \frac{ \mbox{d}y }{y}= \int_{}^{} (1-\frac{1}{x}) \mbox{d}x \\
\ln \left| y\right|=x- \ln \left| y\right|+C\\
y= \frac{Ce^x}{x}}\)
Uzmienniam stałą
\(\displaystyle{ y'=C'\frac{e^x}{x}+C\frac{xe^x-e^x}{x^2}}\)
Stąd
\(\displaystyle{ C'\frac{e^x}{x}+C\frac{xe^x-e^x}{x^2}+( \frac{1}{x}-1 )\frac{Ce^x}{x}=-x+2\\
C'\frac{e^x}{x}=-x+2\\
\int_{}^{} \mbox{d}C= \int_{}^{} (-x^2+2x)e^{-x} \mbox{d}x \\
C= \int_{}^{} (-x^2+2x)e^{-x} \mbox{d}x}\)
Powyższą całkę wyliczysz dwukrotnie całkując przez części. Uzyskany wynik (zawierający także stałą!) wstawiasz do rozwiązania równania jednorodnego.
Pozostaje jeszcze wykorzystać podany warunek początkowy aby wyliczyć wartość stałej.