klasy abstrakcji- typowe

[PiotrowskiW]

Dzień dobry.
Jako, że już 4 lata nie robiłem nic związanego z matematyką trafiłem na pewnien problem umysłowy.
#mianowicie przy próbie pomocy koledze dostałem takie o to zadanie:
Wyznaczyć klasy abstrakcji relacji \(\displaystyle{ R \subseteq \QQ \times \QQ}\) danej wzorem
\(\displaystyle{ xRy \Leftrightarrow x \cdot y=1}\)
Mniejsza o to wszystko.
interesuje mnie to konkretnie (problem umysłowo-logiczny i zapomnienie)
Co jest tutaj elementem odwrotnym, tzn. jeżeli \(\displaystyle{ x}\) różny od zera to \(\displaystyle{ y= \frac{1}{x}}\)
Konkretniej, czy tutaj klasą abstrakcji dowolnego niezerowego elementu \(\displaystyle{ x}\) względem \(\displaystyle{ R}\) będzie klasa abstrakcji postaci \(\displaystyle{ \left[ \frac{1}{x} \right]}\)względem relacji definiującej liczby wymierne jako klasy abstrakcji czy liczba \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) (reprezentant tej klasy).

[Jan Kraszewski]

Zadanie jest bzdurne, bo \(\displaystyle{ R}\) nie jest relacją równoważności (w oczywisty sposób nie jest ani zwrotna, ani przechodnia), więc mówienie o klasach abstrakcji nie ma sensu.

JK

[PiotrowskiW]

Chciałem zbytnio to uprościć, Oryginalnie ta relacja dana jest wzorem:
\(\displaystyle{ xRy \Leftrightarrow x=y \lor xy=1}\)
Czy wtedy klasa abstrakcji niezerowego elementu \(\displaystyle{ x}\), będzie miała postać \(\displaystyle{ \left\{ x\right\} \cup \left[ \frac{1}{x} \right]}\) tutaj klasa względem "relacji z liczb wymiernych" czy \(\displaystyle{ \left\{ x, \frac{1}{x} \right\}}\) , to drugie mniej mi się podoba

[Jan Kraszewski]

Czy wtedy klasa abstrakcji niezerowego elementu \(\displaystyle{ x}\), będzie miała postać \(\displaystyle{ \left\{ x\right\} \cup \left[ \frac{1}{x} \right]}\) tutaj klasa względem "relacji z liczb wymiernych"

Nie rozumiem tego zapisu.

czy \(\displaystyle{ \left\{ x, \frac{1}{x} \right\}}\) , to drugie mniej mi się podoba

Tak, dla \(\displaystyle{ x\ne 0}\) mamy \(\displaystyle{ [x]_R=\left\{ x, \frac{1}{x} \right\}}\) (oraz \(\displaystyle{ [0]_R=\{0\}}\)).

JK

[PiotrowskiW]

Chodzi mi o to, że może być np. tak:
ustalmy \(\displaystyle{ x= \frac{1}{2}}\)
Wtedy \(\displaystyle{ \frac{1}{2} y=1}\) więc
\(\displaystyle{ y=2}\) i to niby wszystko ok, ale co z liczbami typu \(\displaystyle{ \frac{8}{4}}\) i innymi zapisami liczby 2 w języku liczb wymiernych, innymi słowy klasa abstrakcji \(\displaystyle{ \left[ 2\right]}\) w relacji "liczb wymiernych" tzn. \(\displaystyle{ \left( a,b\right)\sim (c,d) \Leftrightarrow ad=bc}\)

[Jan Kraszewski]

ale co z liczbami typu \(\displaystyle{ \frac{8}{4}}\) i innymi zapisami liczby 2 w języku liczb wymiernych, innymi słowy klasa abstrakcji \(\displaystyle{ \left[ 2\right]}\) w relacji "liczb wymiernych" tzn. \(\displaystyle{ \left( a,b\right) \sim (c,d) \Leftrightarrow ad=bc}\)

Liczby wymierne to liczby wymierne, a \(\displaystyle{ \frac84=2}\), więc nie ma tu żadnych dwuznaczności. Niepotrzebnie mieszasz tu relację \(\displaystyle{ \sim}\).

JK

[PiotrowskiW]

no dobrze, to inaczej, czy prawdziwe jest stwierdzenie, że elementem odwrotnym do \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) jest liczba\(\displaystyle{ \frac{8}{4}}\) i z formalnego punktu widzenia ile jest tych elementów odwrotnych? Ja bym powiedział, że jeden to nadużycie.

[Jan Kraszewski]

To źle byś powiedział. Elementem odwrotnym do \(\displaystyle{ \frac12}\) jest \(\displaystyle{ 2}\), a to, jak zapiszesz liczbę \(\displaystyle{ 2}\) jako ułamek nie ma znaczenia - to jest TA SAMA liczba.

JK