wzór na pole trójkąta - dowód

[waliant]

Jest taki wzór na pole trójkąta o wierzchołkach w punktach:

\(\displaystyle{ A\left( x _{a}, y _{a} \right)}\)
\(\displaystyle{ B\left( x _{b}, y _{b} \right)}\)
\(\displaystyle{ C\left( x _{c}, y _{c} \right)}\)

\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} \left| \left( x _{b}-x _{a} \right)\left( y_{c} - y_{a} \right)-\left( y_{b} - y_{a} \right) \left( x_{c} - x_{a} \right) \right|}\)

Nie wiem skąd wynika ten wzór, czy macie jakieś wskazówki jak go udowodnić?

[janusz47]

Sposób geometryczny (bez użycia iloczynu wektorowego w postaci wyznacznikowej)

W układzie prostokątnym zaznaczamy punkty \(\displaystyle{ A, B, C}\) na przykład w I ćwiartce układu dla przejrzystości rysunku.

Oznaczamy \(\displaystyle{ AB = c, \ \ AC =b}\) - wyznaczamy rzuty boków \(\displaystyle{ c, b}\) na osie układu współrzędnych \(\displaystyle{ c_{x},\ \ c_{y},\ \ b_{x},\ \ b_{y}.}\)

Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta

\(\displaystyle{ S = \frac{1}{2}bc\sin(\phi) = \frac{1}{2}bc \sin(\beta - \alpha) = \frac{1}{2}bc (\sin(\beta)\cos(\alpha) -\cos(\beta)\sin(\alpha)) =\\ = \frac{1}{2}(b_{y}c_{x} - b_{x}c_{y}) =\frac{1}{2}[(y_{c}- y_{a})(x_{b}-x_{a}) - ( x_{c}- x_{a})(y_{b}- y_{a})].}\)

[Janusz Tracz]

Albo zamiast patrzeć na to jak na pole trójkąta można powiedzieć, że to objętość graniastosłupa o podstawie "tego" trójkąta i wysokości \(\displaystyle{ 1}\). Objętość takiego graniastosłupa (co do wartości taka sama jak pole) wyraża się poprzez wartość iloczynu wektorowego. Tu można zrobić to na dwa sposoby dające znane wzory na pole trójkąta. Zatem ustalmy trzy punkty \(\displaystyle{ \left( x_a,y_a,1\right)}\), \(\displaystyle{ \left( x_b,y_b,1\right)}\), \(\displaystyle{ \left( x_c,y_c,1\right)}\) i wektory

\(\displaystyle{ \overrightarrow{AB}=\left[x_b-x_a,y_b-y_a,0 \right]}\)

\(\displaystyle{ \overrightarrow{AC}=\left[x_c-x_a,y_c-y_a,0 \right]}\)

wtedy pole równe objętości będzie równe \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \left| \overrightarrow{AB} \times\overrightarrow{AC}\right|}\). Pierwszy ze znanych wzorów mówi o tym iż pole jest równe

\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2} \left| \overrightarrow{AB} \times\overrightarrow{AC}\right|=\frac{1}{2} \cdot \text{iloczyn \ boków } \cdot \sin\left( \text{kąt \ pomiędzy bokami}\right)}\)

A szukany przez Ciebie wzór można otrzymać stosując wyznacznikową metodę liczenia iloczyny wektorowego.

\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2} \left| \overrightarrow{AB} \times\overrightarrow{AC}\right|=\frac{1}{2}\left|\left|\begin{array}{ccc}\imath&\jmath&k\\x_b-x_a&y_b-y_a&0\\x_c-x_a&y_c-y_a&0\end{array}\right|\right|=\frac{1}{2} \left| \left( x _{b}-x _{a} \right)\left( y_{c} - y_{a} \right)-\left( y_{b} - y_{a} \right) \left( x_{c} - x_{a} \right) \right|}\)

Istnieje też daleko idące uogólnienia tego rozumowania co opisuje

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Shoelace_formula

pozwalająca w prosty sposób liczyć pola figur leżących na płaszczyźnie zadanych (definiowanych) przez zbiór punktów \(\displaystyle{ \left( x_i,y_i\right)\in\RR^2}\). A nawet rozważa się przejście graniczne gdy punków jest nieskończenie wiele i przybliżają jakąś krzywą zamkniętą \(\displaystyle{ \Gamma}\) wtedy pole otoczone przez tą krzywą wyraża się poprzez \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}\oint_{\Gamma} -y\text{d}x+x\text{d}y}\), ten wzór ukazuje niewątpliwe podobieństwo pomiędzy polem trójkąta a wersją znacznie ogólniejszą.