Zbadaj osobliwość

[max123321]

Zbadaj osobliwość funkcji \(\displaystyle{ f(z)= \frac{\cos z}{z^2}}\) w punkcie \(\displaystyle{ \infty}\).

No to jak rozumiem mogę zbadać osobliwość funkcji \(\displaystyle{ f(1/z)}\) w zerze.
\(\displaystyle{ f(1/z)=z^2(1- \frac{1}{2!z^2}+ \frac{1}{4!z^4}- \frac{1}{6!z^6}+...)= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n!)}z^{2-2n}}\)
I jaki z tego wniosek? W sensie, że w punkcie \(\displaystyle{ \infty}\) jest biegun bo część regularna jest skończona, czy osobliwość istotna bo cześć osobliwa jest nieskończona?

[bartek118]

Istotna. Przez jakąkolwiek potęgę nie pomnożysz tego szeregu i tak będzie nieskończenie wiele wyrazów osobliwych w zerze.

[max123321]

Czyli osobliwość w nieskończoności jest istotna wtedy i tylko wtedy gdy rozwinięcie funkcji \(\displaystyle{ f(1/z)}\) w zerze ma nieskończoną część osobliwą tak?