Dowolny produkt przestrzeni spójnych

[Ollaxd52]

Wykaż, że dowolny produkt przestrzeni spójnych jest przestrzenią spójną.

[Dasio11]

Niech \(\displaystyle{ X = \prod_{i \in I} X_i}\), gdzie \(\displaystyle{ X_i}\) są spójne. Jeśli \(\displaystyle{ X = \varnothing}\), to zadanie jest trywialne, więc załóżmy, że \(\displaystyle{ X \neq \varnothing}\), i weźmy punkt \(\displaystyle{ x \in X}\).

Niech

\(\displaystyle{ F = \{ y \in X : y(i) = x(i) \text{ dla prawie wszystkich } i \in I \}.}\)

Udowodnij, że:

1. \(\displaystyle{ F}\) jest spójnym podzbiorem \(\displaystyle{ X}\);
2. \(\displaystyle{ \cl F = X}\);

a następnie skorzystaj z faktu, że domknięcie spójnego podzbioru dowolnej przestrzeni topologicznej jest spójne.