Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P(2;1;-1)}\) i prostopadłej do prostych:
\(\displaystyle{ l_{1}: \frac{x-3}{2}= \frac{y+1}{3}= \frac{z-1}{1}}\)
\(\displaystyle{ l _{2}: \frac{x-3}{1}= \frac{y-2}{2}= \frac{z+1}{-2}}\)
nie wiem jak się do tego zabrać. proszę jakoś krok po kroku o wyjaśnienie, albo rozwiązanie, żebym mógł to przeanalizować. geometrii analitycznej nie przerabiałem, ale tego typu zadania po prostu muszę umieć robić, więc serio moja wiedza jest w tym zakresie minimalna.
prosta przechodząca przez punkt i prostopadła do prostej
-
szw1710
Re: prosta przechodząca przez punkt i prostopadła do prostej
Masz wektory równoległe do obu prostych. Szukasz wektora prostopadłego do danej płaszczyzny, a więc i do obu prostych. Jak on się ma do tych wektorów równoległych?
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
prosta przechodząca przez punkt i prostopadła do prostej
Równanie kierunkowe prostej \(\displaystyle{ l}\) przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P}\)
\(\displaystyle{ l: \frac{x-2}{a} = \frac{y -1}{b} = \frac{z+1}{c} \ \ (1)}\)
Wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ l}\) musi być prostopadły do płaszczyzny rozpiętej przez wektory kierunkowe prostych \(\displaystyle{ l_{1}}\) i \(\displaystyle{ l_{2}.}\)
Stąd wynika, że prosta \(\displaystyle{ l}\) będzie prostopadła do prostych \(\displaystyle{ l_{1},\ \ l_{2},}\) gdy wektor kierunkowy \(\displaystyle{ \vec{v}(a,b, c)}\) prostej \(\displaystyle{ l}\) będzie iloczynem wektorowym wektora kierunkowego \(\displaystyle{ \vec{v}_{1}(2, 3, 1)}\) prostej \(\displaystyle{ l_{1},}\) przez wektor kierunkowy \(\displaystyle{ \vec{v}_{2}(1, 2, -2)}\) prostej \(\displaystyle{ l_{2}.}\)
\(\displaystyle{ \vec{v}(a,b,c) = \vec{v}_{1}(2, 3, 1) \times \vec{v}_{2}(1, 2, -2)}\)
\(\displaystyle{ [a \ \ b \ \ c] = \left[ \left| \begin{matrix}3&1\\2&-2\end{matrix}\right| - \left| \begin{matrix}2&1\\1&-2\end{matrix}\right| \left| \begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right| \right]= [ -8, 5, 1] \ \ (2)}\)
Podstawiając współrzędne wektora kierunkowego \(\displaystyle{ (2)}\) do równania prostej \(\displaystyle{ (1),}\) otrzymujemy równanie kierunkowe szukanej prostej - prostopadłej do danych prostych i przechodzącej przez dany punkt \(\displaystyle{ P}\)
\(\displaystyle{ l: \frac{x-2}{-8} = \frac{y-1}{5} = \frac{z+1}{1}.}\)
\(\displaystyle{ l: \frac{x-2}{a} = \frac{y -1}{b} = \frac{z+1}{c} \ \ (1)}\)
Wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ l}\) musi być prostopadły do płaszczyzny rozpiętej przez wektory kierunkowe prostych \(\displaystyle{ l_{1}}\) i \(\displaystyle{ l_{2}.}\)
Stąd wynika, że prosta \(\displaystyle{ l}\) będzie prostopadła do prostych \(\displaystyle{ l_{1},\ \ l_{2},}\) gdy wektor kierunkowy \(\displaystyle{ \vec{v}(a,b, c)}\) prostej \(\displaystyle{ l}\) będzie iloczynem wektorowym wektora kierunkowego \(\displaystyle{ \vec{v}_{1}(2, 3, 1)}\) prostej \(\displaystyle{ l_{1},}\) przez wektor kierunkowy \(\displaystyle{ \vec{v}_{2}(1, 2, -2)}\) prostej \(\displaystyle{ l_{2}.}\)
\(\displaystyle{ \vec{v}(a,b,c) = \vec{v}_{1}(2, 3, 1) \times \vec{v}_{2}(1, 2, -2)}\)
\(\displaystyle{ [a \ \ b \ \ c] = \left[ \left| \begin{matrix}3&1\\2&-2\end{matrix}\right| - \left| \begin{matrix}2&1\\1&-2\end{matrix}\right| \left| \begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right| \right]= [ -8, 5, 1] \ \ (2)}\)
Podstawiając współrzędne wektora kierunkowego \(\displaystyle{ (2)}\) do równania prostej \(\displaystyle{ (1),}\) otrzymujemy równanie kierunkowe szukanej prostej - prostopadłej do danych prostych i przechodzącej przez dany punkt \(\displaystyle{ P}\)
\(\displaystyle{ l: \frac{x-2}{-8} = \frac{y-1}{5} = \frac{z+1}{1}.}\)