Całka funkcji trygonometrycznej

[wojwen]

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{\sin ^{2}x}{3\cos ^{2}x+1}}\)
Próbowałem obliczyć to podstawieniem uniwerslanym, ale ciągle mi coś źle wychodziło, proszę o pomoc.

[Waylays]

Jeżeli funkcja podcałkowa jest parzysta ze względu na zarówno sinus, jak i cosinus, tzn. \(\displaystyle{ R(-\sin {x},-\cos {x}) = R(\sin {x}, \cos {x})}\), to można zastosować podstawienie \(\displaystyle{ t=\tg x}\). Mamy wtedy \(\displaystyle{ x = \arctan {t}}\), \(\displaystyle{ dx = \frac{dt}{1+t^2}}\). Dzięki takiemu podstawieniu możemy od razu obliczyć kwadraty sinusa i cosinusa:
\(\displaystyle{ \\ \sin ^2{x} = \frac{\sin ^2{x}}{\sin ^2{x}+\cos ^2{x}}\cdot \frac{\cos ^2{x}}{\cos ^2{x}} = \frac{\tg ^2{x}\cos ^2{x}}{\sin ^2{x}+\cos ^2{x}} =\\ \\= \frac{\tg ^2{x}}{ \frac{\sin ^2{x}+\cos ^2{x}}{\cos ^2{x}} } = \frac{\tg ^2{x}}{\tg ^2{x}+1} = \frac{t^2}{t^2+1}}\)

Postępując analogicznie z cosinusem otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \cos ^2{x} = \frac{1}{t^2+1}}\)

Oznaczając szukaną całkę przez \(\displaystyle{ I}\) dostajemy:

\(\displaystyle{ I = \int \frac{ \frac{t^2}{t^2+1} }{3\frac{1}{t^2+1} + 1} \frac{dt}{1+t^2} = \int \frac{ \frac{t^2}{t^2+1} dt }{4+t^2} = \int \frac{t^2}{(t^2+1)(t^2+4)}dt}\)

A to już jest całka wymierna, która nie powinna sprawić problemu.
Wyniki z Wolfram Alpha:
\(\displaystyle{ -\frac{1}{3} \arctan {t} - \frac{2}{3}\arctan { \frac{2}{t} } + C\quad}\) (1)
\(\displaystyle{ -\frac{x}{3} - \frac{2}{3}\arctan {(2\cot {x})} + C\quad}\) (2)
Widać, że po wróceniu z podstawieniem \(\displaystyle{ t=\tg x}\) z (1) otrzymujemy (2).