Mamy odwzorowanie ciągłe \(\displaystyle{ f: S^{1} \rightarrow S^{1}}\) oraz odwzorowanie indukowane \(\displaystyle{ f_{*}:Z \rightarrow Z}\). Jest wzór, który mówi, że \(\displaystyle{ f_{*}(a)=d*a}\) gdzie d to stopień topologiczny f. Mam kilka pytań.
1. Gdy \(\displaystyle{ f(z)=z}\) to \(\displaystyle{ f_{*}(a)=a}\)
2.Jeśli \(\displaystyle{ f(z)=z^{2}}\), to \(\displaystyle{ f_{*}}\) jest homomorfizmem
3.Jeśli \(\displaystyle{ f(z)=-z}\), to \(\displaystyle{ f_{*}}\) jest izomorfizmem
4. Jeśli \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowe to \(\displaystyle{ f_{*}}\) też jest róznowartościowe
Odwzorowanie indukowane
-
- Użytkownik
- Posty: 157
- Rejestracja: 11 paź 2014, o 13:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warsaw
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1 raz
Re: Odwzorowanie indukowane
Definicje, które mam podane w notatkach to:
\(\displaystyle{ f:M \rightarrow M}\) , wtedy \(\displaystyle{ f_{*}:H_n(M) \rightarrow H_n(M)}\), a stopień topologiczny to liczba całkowita, która określa liczbę nawinięć f na okrąg. W pytaniu moim rozpatruję \(\displaystyle{ H_1(S^{1})=Z}\)
\(\displaystyle{ f:M \rightarrow M}\) , wtedy \(\displaystyle{ f_{*}:H_n(M) \rightarrow H_n(M)}\), a stopień topologiczny to liczba całkowita, która określa liczbę nawinięć f na okrąg. W pytaniu moim rozpatruję \(\displaystyle{ H_1(S^{1})=Z}\)
- leg14
- Użytkownik
- Posty: 3132
- Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 154 razy
- Pomógł: 475 razy
Odwzorowanie indukowane
No dobrze to chyba widziałeś, że odwzorowanie "indukowane" jest homomorfizmem i dobrze zachowuje się ze względu na składanie przekształceń?
-
- Użytkownik
- Posty: 157
- Rejestracja: 11 paź 2014, o 13:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warsaw
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1 raz
Re: Odwzorowanie indukowane
leg14, to wiedziałem o tym. Czyli pierwsze trzy zdania są dla mnie prawidłowe ale co do 4 to nie jestem pewny bo jak mamy odwzorowanie indukowane w grupach homotopii to nie zawsze jak f jest różnowartościowe to indukowane jest różnowartościowe. A w homologiach to nie wiem jak jest. (np czwartym wziąć np. odwzorowanie f "1-1" takie żeby miało stopień zero i wtedy indukowane nie jest "1-1'
Re: Odwzorowanie indukowane
Podpunkt 1 jest prawdziwy,
Bo \(\displaystyle{ f(z)=z}\), to jest jednokrotne nawinięcie, wiec degf = 1 = d
Podpunkt 2 nie jest prawdziwy,
\(\displaystyle{ f(z)=z^{2}}\)to 2 krotne nawinięcie,
trzeba pokazać, że \(\displaystyle{ f_{*}(a)=2*a}\) nie jest homomorfizmem,
\(\displaystyle{ f_{*}(a*b)=2*(a*b) != f_{*}(a)*f_{*}(b)}\)
Bo \(\displaystyle{ f(z)=z}\), to jest jednokrotne nawinięcie, wiec degf = 1 = d
Podpunkt 2 nie jest prawdziwy,
\(\displaystyle{ f(z)=z^{2}}\)to 2 krotne nawinięcie,
trzeba pokazać, że \(\displaystyle{ f_{*}(a)=2*a}\) nie jest homomorfizmem,
\(\displaystyle{ f_{*}(a*b)=2*(a*b) != f_{*}(a)*f_{*}(b)}\)