Suma szeregu

[problem_matematyczny]

Witam mam przykład by obliczyć sumę szeregu:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} n \left( \frac{ \sqrt{2} }{2} \right) ^{n}}\)

czy tutaj moge zastosować wzór na sumę szeregu potęgowego?
tylko niepokoi mnie ten pierwiastek z dwóch w liczniku..

Czy to wyglądałoby tak:
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{ \sqrt{2} }{2} }{\left( 1- \frac{ \sqrt{2} }{2}\right) ^{2} } }\) ??

[Jan Kraszewski]

czy tutaj moge zastosować wzór na sumę szeregu potęgowego?

A czy to jest szereg potęgowy?

tylko niepokoi mnie ten pierwiastek z dwóch w liczniku..

Mnie na Twoim miejscu zdecydowanie bardziej martwiłoby to \(\displaystyle{ n}\) zaraz za sumą...

JK

[problem_matematyczny]

jest to szereg potęgowy.

rozuemiem, z jest błędnie. W takim razie jak obliczyc sumę ?

[Jan Kraszewski]

jest to szereg potęgowy.

O, a na jakiej podstawie tak sądzisz?

JK

[problem_matematyczny]

Może inaczej, a nie jest to szereg w formie \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} nx ^{n}}\)?? i wzór na sumę jest \(\displaystyle{ \frac{x}{(1-x) ^{2} }}\)
Z tym właśni mi się kojarzy

[MrCommando]

Tak jak powiedział Pan Kraszewski, szeregiem potęgowym to to nie jest. Po drugie to szeregiem geometrycznym też nie. A po trzecie zauważmy że:

Jeżeli \(\displaystyle{ S_n}\) oznacza \(\displaystyle{ n}\)-tą sumę częściową tego szeregu, to możemy rozpisać ją tak:

\(\displaystyle{ S_n=1\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+2\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+3\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3+...+n\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n=\\=1\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+1\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+1\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3+1\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^4+...+1\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n+\\+1\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+1\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3+1\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^4+...+1\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n+\\+1\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3+1\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^4+...+1\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n+\\+...+\\+1\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n}\)

Podzieliłem wyrazy tej sumy na grupy (spróbowałem zapisać to tak, żeby było widać o co chodzi, mam nadzieję, że jest to jasne). Teraz wysumuj wyrazy we wszystkich grupach za pomocą wzoru na sumę ciągu geometrycznego, a potem wysumuj otrzymane sumy i gotowe - masz wzór jawny na \(\displaystyle{ n}\)-tą sumę częściową.

[problem_matematyczny]

czyli po twoim rozpisaniu, widać, że \(\displaystyle{ q= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) a to mieści się w przedziale \(\displaystyle{ (-1,1)}\) , a pierwszym wyrazem ciągu jest \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

pierwsza suma to: \(\displaystyle{ \frac{1}{1- \frac{ \sqrt{2} }{2} }}\) tak?

druga suma to: \(\displaystyle{ \frac{1}{1- \frac{1}{4} }}\) dobrze rozumuje?

-- 18 sty 2019, o 02:24 --

nie coś źle..mógłbyś to rozpisać ?

-- 18 sty 2019, o 02:26 --

w drugiej sumie powinno być \(\displaystyle{ \frac{1}{1- \frac{1}{2} }}\)

[Jan Kraszewski]

pierwsza suma to: \(\displaystyle{ \frac{1}{1- \frac{ \sqrt{2} }{2} }}\) tak?

No nie, przecież pierwsza suma to suma \(\displaystyle{ n}\) wyrazów (skończonego) ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie \(\displaystyle{ a_1=\frac{ \sqrt{2} }{2}}\) i ilorazie \(\displaystyle{ q=\frac{ \sqrt{2} }{2}}\). Jest na to wzór.

w drugiej sumie powinno być \(\displaystyle{ \frac{1}{1- \frac{1}{2} }}\)

Nie. Przypominam, w tym, co napisał MrCommando masz skończoną sumę.

JK

[MrCommando]

Pierwszym wyrazem pierwszej sumy jest \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}}\), ilorazem jest \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}}\), a wyrazów jest \(\displaystyle{ n}\). Stąd pierwsza suma wynosi dokładnie \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}}\).
W drugiej sumie jest podobnie, tylko jest jeden wyraz mniej i pierwszy wyraz jest równy \(\displaystyle{ \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}\) i tak dalej, i tak dalej...

[problem_matematyczny]

ahha, czyli
pierwsza suma: \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}}\)

druga suma: \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2} \cdot \frac{1-\left( \frac{ \sqrt{2} }{2} \right) ^{n-1} }{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}}\)

ale to tych sum będzie nrazy, nadal nie wiem, nie widze tego jaki bedzie koncowy wynik ?

[MrCommando]

ahha, czyli
pierwsza suma: \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}}\)

druga suma: \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2} \cdot \frac{1-\left( \frac{ \sqrt{2} }{2} \right) ^{n-1} }{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}}\)

No prawie, bo w tej drugiej sumie coś jest nie tak. Zobacz jaki jest jej pierwszy wyraz.

ale to tych sum będzie nrazy, nadal nie wiem, nie widze tego jaki bedzie koncowy wynik ?

Najpierw napisz wzory na kolejne sumy. Potem wysumuj otrzymane sumy.

[problem_matematyczny]

a tak, tak. zgubiło mi się podniesienie do kwadratu

-- 18 sty 2019, o 02:41 --

tylko nie widzę do jakiego momentu mam wypisywać te sumy, bo jest ich n ilości. To każdą nastepną sumę mogę zapisac jako n-jakaś liczba

Nie widzę jak ma zostać uzyskany ostateczny wynik

[Jan Kraszewski]

Może inaczej, a nie jest to szereg w formie \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} nx ^{n}}\)?? i wzór na sumę jest \(\displaystyle{ \frac{x}{(1-x) ^{2} }}\)
Z tym właśnie mi się kojarzy

A, jeśli tak, to dobrze Ci się kojarzy. Nie zrozumiałem Cię początkowo. Trzeba tylko wiedzieć, kiedy ten wzór można zastosować (no i fajnie byłoby wiedzieć, skąd ten wzór się bierze).

Odpowiedzią istotnie będzie \(\displaystyle{ \frac{ \frac{ \sqrt{2} }{2} }{\left(1- \frac{ \sqrt{2} }{2}\right) ^{2} }=4+3\sqrt 2.}\)

JK

[MrCommando]

a tak, tak. zgubiło mi isę podniesienie do kwadratu

-- 18 sty 2019, o 02:41 --

tylko nie widzę do jakiego momentu mam wypisywać te sumy, bo jest ich n ilości. To każdą nastepną sumę mogę zapisac jako n-jakaś liczba

Nie widzę jak ma zostać uzyskany ostateczny wynik

Zapisujesz to tak:

\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\frac{1-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n-1}}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3\frac{1-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n-2}}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}+...+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n\frac{1-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^1}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}}\)

A taką sumę jest już łatwo uprościć. Potem przechodzisz do granicy i po sprawie.

[problem_matematyczny]

oki, dziękuję za pomoc