Własności liczb zespolonych

[KiedysSieNaucze]

Witajcie!

Czy jest ktoś w stanie udowodnić podane dowody?
Ja niestety zbytnie nie rozumiem tego.

Tutaj przykład jakiej metody użyć:

\(\displaystyle{ z_{1} + z_{2} = z_{2} + z_{1} = (x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2}) = (x_{2}, y_{2}) + (x_{1}, y_{1}) = z_{2} + z_{1}}\)

A tutaj same dowody:

1) \(\displaystyle{ \forall z=(x,y)\in \CC \ \ \exists -z \in \CC}\) takie, że \(\displaystyle{ z + (-z) = 0}\);

2) \(\displaystyle{ \overline{z}=|z| \ e^{-i \varphi}\)

3) \(\displaystyle{ -z = |z| \ e^{-i( \varphi + \pi )}\)

4) \(\displaystyle{ \frac{1}{z} = \frac{1}{|z|} \ e^{-i \varphi}\)

5) \(\displaystyle{ z^{k} = |z|^{k} \ e^{ik\varphi} , k\in\ZZ}\)

Liczę na waszą pomoc !

[Rafsaf]

Z czym konkretnie masz problem? Nie znasz definicji modułu liczby zespolonej, postaci trygonometrycznej, czy sprzężenia itp.? 5) może jest troszeczkę trudniejsze, to wzór de Moivre'a(dowód znaleźć to tyle co wklepać w google), tam trzeba trochę trygonometrii użyć i potem indukcji.
Np. 1)
Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ z \in \CC}\). Wtedy \(\displaystyle{ z = (a, b)}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a,b \in \RR}\). Niech \(\displaystyle{ -z = (-a, -b)}\), wtedy \(\displaystyle{ -a, -b \in \RR}\) więc \(\displaystyle{ -z \in \CC}\). Ale mamy \(\displaystyle{ z+(-z)= (a, b) + (-a, -b) = (a-a, b-b) = 0}\)

Spróbuj sam któryś przykład tu napisać.

[KiedysSieNaucze]

Nie rozumiem momentu w którym pojawia się \(\displaystyle{ e^{-i\varphi}}\) co tam wstawić, jak tego użyć.

[Rafsaf]

To postać wykładnicza, u mnie taki zapis był stosowany jakiś czas temu bardziej jako skrót i był podany szkic dowodu, że to rzeczywiście prawda(a nie tylko krótszy zapis), podejrzewam, że nie musisz tego dowodzić że te równości niżej zachodzą tylko z tego skorzystać ;D
\(\displaystyle{ e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\cdot \sin \varphi}\)
\(\displaystyle{ e^{-i\varphi} = \cos \varphi - i\cdot \sin \varphi}\)

[KiedysSieNaucze]

Czyli jak wygląda dowód nr.2 \(\displaystyle{ \overline{z}=|z| \ e^{-i \varphi}\) ?

\(\displaystyle{ x-y_{i} = \sqrt{ x^{2} + y^{2}} \cdot (\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi)}\)

Co dalej?

[niunix98]

Każdą liczbę zespoloną \(\displaystyle{ z}\) możemy zapisać w postaci trygonometrycznej jednoznacznie z dokładnością do \(\displaystyle{ 2 \pi}\). Możemy napisać \(\displaystyle{ z = |z|( \cos \varphi + i \sin \varphi )}\). Łatwo to sobie wyobrazić na płaszczyźnie, gdzie na osi rzeczywistej odmierzamy odcinek \(\displaystyle{ |z|}\) i następnie obracamy go o kąt \(\displaystyle{ \varphi}\) przeciwnie do ruchu wskazówek zegara wokół początku układu współrzędnych. Zauważ teraz, że liczba \(\displaystyle{ \overline{z}}\) jest odbiciem punktu \(\displaystyle{ z}\) względem osi liczb rzeczywistych (z definicji jeżeli \(\displaystyle{ z = a + bi}\) to \(\displaystyle{ \overline{z} = a - bi}\). Teraz wystarczy zauważyć, że liczba \(\displaystyle{ |z|( \cos (- \varphi ) + i \sin ( - \varphi ) )}\) jest równa \(\displaystyle{ |z|( \cos \varphi - i \sin \varphi )}\) (korzystamy tutaj z faktu, że sinus jest funkcją nieparzystą, a cosinus - parzystą). W takim razie możesz sobie narysować punkt \(\displaystyle{ z}\) (dla przykładu \(\displaystyle{ z = 2( \cos 30^{ \circ } + i \sin 30^{ \circ } )}\) - leży w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych) i wtedy punkt \(\displaystyle{ 2( \cos 30^{ \circ } - i \sin 30^{ \circ } )}\)
będzie symetryczny do \(\displaystyle{ z}\) względem osi liczb rzeczywistych, więc będzie liczbą sprzężoną do \(\displaystyle{ z}\). Tak naprawdę \(\displaystyle{ e^{i \varphi}}\) jest zazwyczaj po prostu skróconą postacią zapisu \(\displaystyle{ \cos \varphi + i \sin \varphi}\), chociaż żeby wyprowadzić ten fakt trzeba umieć trochę analizy:)