Baza ortonormalna w przestrzeni Hilberta

[max123321]

Niech \(\displaystyle{ \left\{ e_n\right\}_{n=1}^{\infty}}\) będzie bazą ortonormalną w przestrzeni Hilberta \(\displaystyle{ H}\) z iloczynem skalarnym \(\displaystyle{ ( \cdot , \cdot )}\).
Wykaż, że \(\displaystyle{ (e_n,x) \rightarrow 0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x \in H}\).
Niech \(\displaystyle{ y \in l^{\infty}}\) oraz \(\displaystyle{ u_n= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}y_ke_k}\).
Wykaż, że \(\displaystyle{ |u_n| \rightarrow 0}\)

Jak to zrobić?

[leg14]

1. \(\displaystyle{ x}\) może być zapisana jako kombinacja liniowa skonczonej liczby elementow z bazy

2. ile wynosi \(\displaystyle{ \left\langle u_n,u_n \right\rangle}\)?

[max123321]

Możesz to rozpisac?

[leg14]

A czemu Ty nie możesz tego rozpisać?
Skorzystaj z dwuliniowości iloczynu skalarengo i tego, że masz do czynienia z bazą ortonormalną

[Kordyt]

A skad wiadomo ze mozna taka skonczona kombinacje znaleźć?

[leg14]

ojej racja nie wiadomo - ale możesz sobire Max przybliżać \(\displaystyle{ x}\) dowolnie blisko skonczonymi kombinacjami bazy

[Kordyt]

Ja bym tu skorzystal z faktu ze skoro jest to baza ortonormalba to kazdy wektor \(\displaystyle{ x}\) spelnia warunek
\(\displaystyle{ \Vert x\Vert ^2= \sum_{n=1}^{\infty} \left |(x,e_n)\right |^2}\) .
Albo ogolnie z twierdzenia ze szereg po prawej str równości jest zbieżny (nierówność Bessela).