Niech \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) będą dwoma liniowymi ograniczonymi operatorami na rzeczywistej przestrzeni Hilberta \(\displaystyle{ H}\). Niech \(\displaystyle{ L}\) będzie zadany przez
\(\displaystyle{ L=B+A^*A}\)
oraz niech \(\displaystyle{ B^*=-B}\)
Wykaż, że \(\displaystyle{ L}\) jest dodatni tj. \(\displaystyle{ \left\langle Lx,x\right\rangle \ge 0}\) dla \(\displaystyle{ x \in H}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ \ker L=\ker A \cap \ker B}\).
Jak to zrobić?
Wykaż, że L jest dodatni
-
bartek118
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Re: Wykaż, że L jest dodatni
\(\displaystyle{ \langle Lx, x \rangle = \langle (B+A^* A)x, x \rangle = \langle Bx,x \rangle + \langle A^* Ax,x \rangle = \frac{1}{2} \langle Bx,x \rangle + \frac{1}{2} \langle Bx,x \rangle + \langle Ax, Ax \rangle = \frac{1}{2} \langle Bx,x \rangle + \frac{1}{2}x, B^* x \rangle + \|Ax\|^2 = \frac{1}{2} \langle Bx,x \rangle - \frac{1}{2} \langle x,Bx \rangle + \|Ax\|^2= \|Ax\|^2 \geq 0}\)
Dla równości jąder - rozpisz co oznacza \(\displaystyle{ Lx = 0}\).
Dla równości jąder - rozpisz co oznacza \(\displaystyle{ Lx = 0}\).
-
bartek118
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Re: Wykaż, że L jest dodatni
No jedziemy z równoważnymi przekształceniami:
\(\displaystyle{ Lx = 0 \\
(B+A^*A)x = 0 \\
Bx + A^* A x = 0}\)
Zatem - jeśli \(\displaystyle{ x \in \ker A \cap \ker B}\), to \(\displaystyle{ Lx = Bx + A^* Ax = 0 + A^* 0 = 0}\), więc
\(\displaystyle{ x \in \ker L}\)
co dowodzi, że \(\displaystyle{ \ker A \cap \ker B \subset \ker L}\). Na odwrót, jeżeli \(\displaystyle{ x \in \ker L}\), to \(\displaystyle{ Lx = 0}\) i w konsekwencji
\(\displaystyle{ Bx + A^* A x = 0}\)
lub równoważnie
\(\displaystyle{ \langle Bx + A^* Ax, y \rangle = 0}\)
dla każdego \(\displaystyle{ y}\). W szczególności dla \(\displaystyle{ y=x}\) Czyli
\(\displaystyle{ 0 = \langle Bx + A^* Ax, x \rangle = \langle Lx,x \rangle = \|Ax\|^2}\)
z wcześniejszych rachunków. Stąd \(\displaystyle{ Ax = 0}\), więc \(\displaystyle{ x \in \ker A}\). Zatem
\(\displaystyle{ 0 = Lx = Bx + A^* Ax = Bx + 0 = Bx,}\)
więc \(\displaystyle{ Bx = 0}\) i \(\displaystyle{ x \in \ker B}\), co dowodzi, że \(\displaystyle{ \ker L \subset \ker A \cap \ker B}\).
\(\displaystyle{ Lx = 0 \\
(B+A^*A)x = 0 \\
Bx + A^* A x = 0}\)
Zatem - jeśli \(\displaystyle{ x \in \ker A \cap \ker B}\), to \(\displaystyle{ Lx = Bx + A^* Ax = 0 + A^* 0 = 0}\), więc
\(\displaystyle{ x \in \ker L}\)
co dowodzi, że \(\displaystyle{ \ker A \cap \ker B \subset \ker L}\). Na odwrót, jeżeli \(\displaystyle{ x \in \ker L}\), to \(\displaystyle{ Lx = 0}\) i w konsekwencji
\(\displaystyle{ Bx + A^* A x = 0}\)
lub równoważnie
\(\displaystyle{ \langle Bx + A^* Ax, y \rangle = 0}\)
dla każdego \(\displaystyle{ y}\). W szczególności dla \(\displaystyle{ y=x}\) Czyli
\(\displaystyle{ 0 = \langle Bx + A^* Ax, x \rangle = \langle Lx,x \rangle = \|Ax\|^2}\)
z wcześniejszych rachunków. Stąd \(\displaystyle{ Ax = 0}\), więc \(\displaystyle{ x \in \ker A}\). Zatem
\(\displaystyle{ 0 = Lx = Bx + A^* Ax = Bx + 0 = Bx,}\)
więc \(\displaystyle{ Bx = 0}\) i \(\displaystyle{ x \in \ker B}\), co dowodzi, że \(\displaystyle{ \ker L \subset \ker A \cap \ker B}\).