Rozwinąć w szereg Laurenta

[wik a]

Rozwinąć funkcję
\(\displaystyle{ f(z)= \frac{1}{z}+ \frac{1}{z-1}}\)
w pierścieniach \(\displaystyle{ P(1;0,1)}\) oraz \(\displaystyle{ P(0;0,1)}\).
Proszę o pomoc, jak taką funkcję rozwinąć?

[janusz47]

a)

Pierścień \(\displaystyle{ \mathcal{P}(1;0,1) = \{ z\in \CC: 0 < |z-1|< 1\}.}\)

\(\displaystyle{ f(z)=\frac{1}{z}+\frac{1}{z-1}=\frac{1}{1+(z-1)}+\frac{1}{ z(1 -1/z)}= \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(z-1)^{n}+\\ +\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{z}\right )^{n}.}\)

\(\displaystyle{ f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(z-1)^{n} + \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{z}\right)^{n+1}.}\)

b)

Podobnie.

[wik a]

A skąd się wzięło \(\displaystyle{ (-1)^{n}}\) w pierwszym szeregu i czy ogólnie jest na to jakaś metoda jakie przekształcenia robić aby uzyskać sumę szeregu geometrycznego (mam na mysli ten drugi szereg)?

[janusz47]

\(\displaystyle{ \frac{1}{1+q} = \frac{1}{1-(-q)}= \sum_{n=0}^{\infty}(-q)^{n} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}q^{n}.}\)

Drugi szereg

\(\displaystyle{ \left|\frac{1}{z}\right| < 1, \ \ |z|> 1, \ \ |z-1|> 0 \in \mathcal{P}(1;0,1).}\)

Proszę zapoznać się z twierdzeniem Pierre Laurenta.

[wik a]

Dziękuję Na studiach miałam powiedziane, że jeżeli mniejszy promień jest równy zero to wtedy mogę wyciągnąć czynnik zerujący przed nawias a to co w nawiasie rozwijać w szereg Taylora. Czy tu też tak można? Co wtedy powinnam wyłączyć a co rozwijać?

[janusz47]

Tutaj tej zasady użyć nie można, bo wtedy należałoby wyciągnąć zero przed nawias.

[wik a]

Zero? Dlaczego zero a nie \(\displaystyle{ \frac{1}{z-1}}\)

[janusz47]

Ale jak wyłączysz cały wzór \(\displaystyle{ \frac{1}{z-1}}\) czyli rozwinięcie części głównej szeregu Laurenta?

Znajdź rozwinięcia w punkcie b).

[wik a]

Dalej nie rozumiem czemu nie można tutaj tego wyłączyć to w takim razie kiedy można i co należy wyłączać? Jak rozpoznać kiedy mogę wyłączyć a kiedy nie?

[janusz47]

Naprawdę nie rozumiem Twojego sposobu.

b)

\(\displaystyle{ \mathcal{P}( 0; 0,1) = \{ z\in \CC: 0< |z - 0|< 1\}}\)

Rozwinięcie wokół punktu \(\displaystyle{ z_{0} =0.}\)

\(\displaystyle{ f(z) = \frac{1}{z} + \frac{1}{z-1} = \frac{1}{z} + \frac{-1}{1 - z} = \frac{1}{z} - \sum_{n=0}^{\infty}z^{n}.}\)

\(\displaystyle{ (|z|> 0 \wedge |z|<1 )\in \mathcal{P}(0;0,1).}\)

[wik a]

Podpunkt b) rozwijałam na szereg Taylora i taki sam wynik uzyskałam. Nie da się tak samo zrobić w podpunkcie a)?

[janusz47]

Odnośnie podpunktu b), że Pani rozwijała na szereg Taylora jest nieprawdą. Bo funkcję \(\displaystyle{ f}\) nie da się w tym pierścieniu rozwinąć w szereg Brooka Taylora.

Proszę zastosować swoją metodę do punktu a). Innego sposobu nie widzę.

[wik a]

Podpunkt b) robilam tak
\(\displaystyle{ f(z)= \frac{1}{z}+ \frac{1}{z-1}}\)
\(\displaystyle{ g(z)=\frac{1}{z-1}}\)
i tu licząc pochodne doszłam do wzoru
\(\displaystyle{ g^{(n)}(z)= \frac{(-1)^{n}n!}{(z-1)^{n+1}}}\)
liczę
\(\displaystyle{ g^{(n)}(0)= -n!}\)
I teraz podstawiając do szeregu mam
\(\displaystyle{ g(z)= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{-n!}{n!} z^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} -z^{n}}\)
i wracając do f(z) dostaję
\(\displaystyle{ f(z) = \frac{1}{z} + \sum_{n=0}^{\infty} -z^{n}}\)
źle to jest?

[janusz47]

Można też i tak. Korzysta Pani ze wzoru na współczynnik rozwinięcia części taylorowskiej szeregu Laurenta dla funkcji \(\displaystyle{ f_{1}(z) = \frac{1}{z-1}}\).

Z metody tej można korzystać tylko dla funkcji, których w stosunkowo prosty sposób można znaleźć pochodną rzędu \(\displaystyle{ n.}\)

Nie jest to metoda wyłączania.