Określamy funkcję \(\displaystyle{ I:L^2(0,1) \rightarrow \RR \cup \{ \infty \}}\) wzorem
\(\displaystyle{ I(u) = \begin{cases} \int_{0}^{1} |u(t)^4| \, \dd t & \text{dla } u \in L^4(0,1) \\ +\infty & \text{dla } u \in L^2(0,1) \setminus L^4(0,1) \end{cases}}\)
Wykazać, że \(\displaystyle{ \left\{ (u, \lambda) \in L^2(0,1) \times \RR : I(u) \le \lambda \right\}}\) jest domknięty. Załóżmy, że \(\displaystyle{ u\in L^4(0,1)}\), wykazać, że istnieje wtedy \(\displaystyle{ w\in L^2(0,1)}\), że dla każdego \(\displaystyle{ h\in L^2(0,1)}\) mamy
\(\displaystyle{ I(u+h)-I(u) \ge (h,w)}\)
gdzie \(\displaystyle{ (h,w)}\) oznacza iloczyn skalarny w \(\displaystyle{ L^2(0,1)}\).
Jak to zrobić?