Granica prostego wielomianu a podstawienie

[yutro]

Przeczytałem że:
"Dopóki mamy do czynienia z funkcjami nie bardziej skomplikowanymi niż wielomiany, większość granic jest łatwa do policzenia: na przykład"
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 3}4x^{2} +3x-7=4\cdot 3^2+3\cdot 3-7=38}\)

Najważniejsze jest to że obliczenie granicy w tym przypadku polegało na podstawieniu wartości w miejsce \(\displaystyle{ x}\) i wykonaniu działań. Ale to samo miałbym gdybym wstawił \(\displaystyle{ 3}\) w miejsce \(\displaystyle{ x}\) i pozbył się zapisu \(\displaystyle{ \lim_{x \to 3}}\)
I teraz mam pytanie.
Czym w takim razie rożni się obliczanie wartości funkcji dla danego \(\displaystyle{ x}\) od wyliczenia granicy?

[Janusz Tracz]

Czym w takim razie rożni się obliczanie wartości funkcji dla danego \(\displaystyle{ x}\) od wyliczenia granicy?

Dla funkcji ciągłych właściwie to niczym się nie różni ale życie nie jest zawsze takie różowe i czasem trzeba policzyć na przykład

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1}}\)

taka funkcja nie jest określona dla \(\displaystyle{ x=1}\) ale pytanie jak taka funkcja zachowuje się w okolicy \(\displaystyle{ 1}\) jest już zasadne. Taka granica dużo mówi o tym czy funkcję można dookreślić w \(\displaystyle{ x=1}\) czy może jednak funkcja ma tam asymptotę. Także licznie granic przez podstawienie nie zawsze wyjdzie powiedział bym że w znakomitej liczbie przypadków nie wyjdzie po to właśnie są granicę.

[yutro]

A czy możesz mi napisać jak należy rozumieć granicę?
Powiem szczerze że mam nimi niebywały problem, bo albo piszą w internecie o jakichś intuicjach których mi najwyraźniej brak albo straszą definicją ?epsilnową?.

Nie rozumiem też kiedy ktoś mówi że ciąg dąży albo zbliża się do czegoś.
Jest może o tym książka? Lepsza niż podręcznik?

[MrCommando]

Intuicyjnie granica to jest pewna liczba (o ile mówimy o granicy właściwej), do której przybliżają się wartości danej funkcji (w szczególności właśnie ciągu), ale niekoniecznie muszą ją osiągać.

Na przykład \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n}=0}\). Podstawiając do wzoru ciągu \(\displaystyle{ a_n=\frac{1}{n}}\) coraz to większe liczby \(\displaystyle{ n}\) zauważysz, że wartości ciągu maleją i coraz bardziej zbliżają się do zera (jednak zera nigdy nie osiągają).


Albo rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f(x)=\frac{\sin x}{x}}\), \(\displaystyle{ x\neq 0}\). Oczywiście funkcja ta nie jest określona w punkcie \(\displaystyle{ x=0}\), ale ma w tym punkcie granicę (można wykazać że równą \(\displaystyle{ 1}\)). Intuicyjnie oznacza to, że gdybyś obliczył wartość tej funkcji w punkcie bardzo bliskim zeru (na przykład \(\displaystyle{ 0,05}\)), to otrzymasz wartość bliską \(\displaystyle{ 1}\). Czyli im bardziej argumenty funkcji zbliżają się do zera, tym bardziej wartości funkcji zbliżają się do \(\displaystyle{ 1}\), co zapisujemy \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1}\).

To jest właśnie sens tej definicji deltowo-epsilonowej, o której wspomniałeś. Bo w tym wypadku oznacza to, że dla dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) istnieje takie sąsiedztwo punktu \(\displaystyle{ 0}\) o promieniu \(\displaystyle{ \delta>0}\) (tzn. suma przedziałów \(\displaystyle{ \left(-\delta,0\right)\cup\left(0,\delta\right)}\)), takie, że jego obraz zawiera się w przedziale \(\displaystyle{ \left(1-\epsilon, 1+\epsilon\right)}\). Czyli dla bardzo, bardzo małych \(\displaystyle{ x}\) wartość funkcji jest bardzo, bardzo blisko \(\displaystyle{ 1}\).

Oczywiście nie oznacza to, że granica nigdy nie może być osiągana. Na przykład granica ciągu stałego \(\displaystyle{ a_n=3}\) jest po prostu równa \(\displaystyle{ 3}\).

[yutro]

Dziękuje za odpowiedzi!

A kto wymyślił te granice?
Czy wiadomo na podstawie jakich obserwacji doszedł do tego odkrycia?
Może napisał książkę na ten temat?
Czuje że to mi by bardzo pomogło.

Pozdrawiam