\(\displaystyle{ X' = \left[\begin{array}{ccc}1&-1&-2\\1&3&2\\1&-1&2\end{array}\right]X + \left[\begin{array}{c}t^{2}&t+1&2\end{array}\right]}\)
Jak obliczyć to zdanie metoda przewidywań?
Korzystałem z wolframa alpha i obliczyłem sobie wartości własne i wektory własne:
\(\displaystyle{ \lambda_{1} = 2 + 2i}\)
\(\displaystyle{ \lambda_{2} = 2-2i}\)
\(\displaystyle{ \lambda_{3} = 2}\)
\(\displaystyle{ v_{1} = (i,-i,1)}\)
\(\displaystyle{ v_{2} = (-i,i,1)}\)
\(\displaystyle{ v_{3} = (-1,-1,1)}\)
i z tego mam coś takiego:
\(\displaystyle{ X_{b} = C_{1}\left(\begin{array}{c}i\\-i\\i\end{array}\right)e^{(2+2i)t} + C_{2} $$\left(\begin{array}{c}-i\\i\\1 \end{array}\right)e^{(2-2i)t} + C_{3} $$\left(\begin{array}{c}1\\-1\\ 1\end{array}\right)e^{2t}}\)
Ktoś pomógłby mi to dalej rozwiązać? Bo czuję że nie dam rady.
Metoda przewidywań
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Metoda przewidywań
\(\displaystyle{ x'_{1}(t) - x_{1}(t) + x_{2}(t) +2 x_{3}(t) = t^2 \ \ (1)}\)
\(\displaystyle{ x'_{2}(t) - x_{1}(t) -3 x_{2}(t)-2 x_{3}(t) = t+1 \ \ (2)}\)
\(\displaystyle{ x'_{3}(t) - x_{1}(t)+ x_{2}(t)- 2x_{3}(t) = 2 \ \ (3)}\)
W celu znalezienia rozwiązania szczególnego układu równań różniczkowych liniowych I rzędu - prawe strony równań \(\displaystyle{ (1), (2), (3)}\) przewidujemy odpowiednio w postaci
\(\displaystyle{ x_{1}(t) = a\cdot t^2 + b\cdot t + c}\)
\(\displaystyle{ x_{2}(t) = d\cdot t + e}\)
\(\displaystyle{ x_{3}(t) = f.}\)
Proszę obliczyć pochodne pierwszego rzędu i podstawić pochodne i funkcje do równań \(\displaystyle{ (1), (2), (3)}\) w celu znalezienia współczynników \(\displaystyle{ a, b, c, d, e, f,}\) porównując ich strony.
Rozwiązanie ogólne układu równań jest sumą rozwiązania ogólnego układu jednorodnego i rozwiązania szczególnego układu niejednorodnego.
\(\displaystyle{ x'_{2}(t) - x_{1}(t) -3 x_{2}(t)-2 x_{3}(t) = t+1 \ \ (2)}\)
\(\displaystyle{ x'_{3}(t) - x_{1}(t)+ x_{2}(t)- 2x_{3}(t) = 2 \ \ (3)}\)
W celu znalezienia rozwiązania szczególnego układu równań różniczkowych liniowych I rzędu - prawe strony równań \(\displaystyle{ (1), (2), (3)}\) przewidujemy odpowiednio w postaci
\(\displaystyle{ x_{1}(t) = a\cdot t^2 + b\cdot t + c}\)
\(\displaystyle{ x_{2}(t) = d\cdot t + e}\)
\(\displaystyle{ x_{3}(t) = f.}\)
Proszę obliczyć pochodne pierwszego rzędu i podstawić pochodne i funkcje do równań \(\displaystyle{ (1), (2), (3)}\) w celu znalezienia współczynników \(\displaystyle{ a, b, c, d, e, f,}\) porównując ich strony.
Rozwiązanie ogólne układu równań jest sumą rozwiązania ogólnego układu jednorodnego i rozwiązania szczególnego układu niejednorodnego.