[Nierówności] Łatwa (?) nierówność z finału

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
JasonP
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 9 sty 2019, o 16:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wadowice

[Nierówności] Łatwa (?) nierówność z finału

Post autor: JasonP » 9 sty 2019, o 16:42

Ja, syn polskiej ziemi, chciałem spytać, czy moje rozwiązanie rzeczonego zadania jest poprawne.

Oto treść problematu:
Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) i ciągu liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a_1, a_2, \ldots a_n}\) istnieje liczba naturalna \(\displaystyle{ k\le n}\) taka, że \(\displaystyle{ \left| \sum_{i=1}^{k}a_i- \sum_{i=k+1}^{n}a_i \right|\le \max_{1\le i\le n}|a_i|}\)
moja propozycja rozwiązania:    
Będę wdzięczny za zauważenie jakichkolwiek błędów w tej próbie rozwiązania, a jeśli takowe nie wystąpiły, to za potwierdzenie poprawności. Jeśli napisałem jakieś straszne bzdury, to sorry za marnowanie czasu.
A tutaj macie wzorcówkę:
https://archom.ptm.org.pl/?q=node/1125

Dodatkowe pytania: jak wpadać na takie rzeczy, jak to w rozwiązaniu wzorcowym? Nie wiem, biegać na 40 km, jeść jagody Goji, czy co A może to kwestia wrodzonej spostrzegawczości, jak ktoś nie ma „tego czegoś", to już mieć nie będzie?

EDIT: Ech, już widzę, to powyżej do niczego się nie nadaje, chyba „udało" mi się pomylić kwantyfikatory, nie mogę sobie tak luźno traktować tej „przerwy". W każdym razie chętnie zobaczę inne rozwiązanie niż wzorcowe, które jest według mnie z sufitu wzięte.

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2707
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 648 razy

Re: [Nierówności] Łatwa (?) nierówność z finału

Post autor: Sylwek » 11 sty 2019, o 00:48

Archom aktualnie nie działa, więc przestawię swój pomysł.
Najpierw może, jak na to wpaść:    
Oznaczenia i założenia, które się przydadzą później.
* Niech \(\displaystyle{ S=\sum_{i=1}^n a_i}\).
* Niech \(\displaystyle{ b_i=\sum_{i=1}^{k}a_i- \sum_{i=k+1}^{n}a_i}\) - definiuję to nieco szerzej niż w zadaniu, bo przyda mi się wartość ciągu \(\displaystyle{ b_i}\) zaczynając już od \(\displaystyle{ i=0}\) (wyjaśni się później, czemu zaczynamy już tutaj, a nie od \(\displaystyle{ i=1}\)), a kończąc na \(\displaystyle{ i=n}\).
* Niech też dla ustalenia uwagi \(\displaystyle{ S \ge 0}\) (zamiana wszystkich \(\displaystyle{ a_i}\) na \(\displaystyle{ -a_i}\) nic nie zmieni w zadaniu).
* Niech \(\displaystyle{ M=\max_{1\le i\le n}|a_i|}\), oczywiście \(\displaystyle{ M \ge 0}\).
Rozważania i dowód:    

Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 736
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 58 razy
Pomógł: 233 razy

Re: [Nierówności] Łatwa (?) nierówność z finału

Post autor: Elayne » 12 sty 2019, o 00:01

Jest to zadanie 4 z III etapu XXV OM.

Slup
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 381
Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 122 razy

Re: [Nierówności] Łatwa (?) nierówność z finału

Post autor: Slup » 15 sty 2019, o 15:07

Zaproponuję swoje rozwiązanie i postaram się opisać heurystykę (teraz widzę, że to samo rozwiązanie podał wyżej Sylwek).
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2707
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 648 razy

Re: [Nierówności] Łatwa (?) nierówność z finału

Post autor: Sylwek » 15 sty 2019, o 17:39

To jest piękne

Slup
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 381
Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 122 razy

Re: [Nierówności] Łatwa (?) nierówność z finału

Post autor: Slup » 16 sty 2019, o 21:42

Weź pod uwagę, że sam to wymyśliłeś .

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2707
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 648 razy

Re: [Nierówności] Łatwa (?) nierówność z finału

Post autor: Sylwek » 17 sty 2019, o 20:33

Nie no, mówię o podróżach żaby . To bardzo pobudza wyobraźnię

Slup
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 381
Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 122 razy

Re: [Nierówności] Łatwa (?) nierówność z finału

Post autor: Slup » 17 sty 2019, o 21:05


Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14211
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 67 razy
Pomógł: 4658 razy

Re: [Nierówności] Łatwa (?) nierówność z finału

Post autor: Premislav » 13 mar 2019, o 19:01

Dziękuję Wam bardzo. Uważam, że to podejście jest dużo bardziej intuicyjne od wzorcówki, właśnie na coś takiego liczyłem, zakładając ten wątek. Niestety nie mogę wstawić „pomógł".

ODPOWIEDZ