Ile jest nierównoważnych zdań logicznych zbudowanych z p i q

[Qabrix]

Dobry wieczór,
mam problem z zadaniem. Brzmi ono tak:
Ile istnieje nierównoważnych formuł rachunku zdań zbudowanych ze zmiennych p,q?

Nie wiem jak to ugryźć :/

[Jan Kraszewski]

A rozumiesz, co to znaczy "nierównoważne formuły rachunku zdań"?

JK

[Qabrix]

To znaczy, że dla każdych dwóch zdań logicznych, dla pewnej waluacji \(\displaystyle{ \pi}\), otrzymam w jednym zdaniu prawdę, a w drugim fałsz?

[Jan Kraszewski]

Można i tak, choć może wygodniej byłoby to wyrazić w języku tabelek.

Może na rozgrzewkę zacznij od tego samego pytania dla zdań zbudowanych z jednej zmiennej.

JK

[Qabrix]

Hymm, czy dobrze myślę, że to będzie \(\displaystyle{ 2}\)? Ponieważ nieważne co przypiszę do jednej zmiennej, jej negacja będzie zwracała wartość przeciwną, a więc samo \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ \neg p}\), są nierównoważne i teraz nie mogę już stworzyć żadnego zdania zbudowanego z \(\displaystyle{ p}\), ponieważ zawsze będzie równoważny z \(\displaystyle{ p}\), lub \(\displaystyle{ \neg p}\).

Czy jest to dobre rozumowanie?

[Jan Kraszewski]

Mało... Jesteś pewny, że każdy schemat zdaniowy, zbudowany przy pomocy jednej zmiennej, jest równoważny albo \(\displaystyle{ p}\), albo \(\displaystyle{ \neg p}\)? A co powiesz np. o prawie wyłączonego środka?

JK

[Qabrix]

Właśnie myślałem, że prawo wyłączonego środka nam to zapewni :/
Bo skoro zawsze dla naszej zmiennej p (prawdą będzie \(\displaystyle{ p}\), lub prawdą będzie \(\displaystyle{ \neg p}\) (i jedno z nich fałszem)), to jeżeli stworzymy jakiś schemat zdaniowy zbudowany z samych \(\displaystyle{ p}\), to zwróci on fałsz, lub prawdę.
Wywnioskowałem więc, że będzie równy \(\displaystyle{ p}\), lub \(\displaystyle{ \neg p}\).

[Jan Kraszewski]

Właśnie myślałem, że prawo wyłączonego środka nam to zapewni :/

Zupełnie mnie nie zrozumiałeś. Pytałem, czemu wg Ciebie jest równoważne zdanie \(\displaystyle{ p\lor \neg p}\).

JK

[Qabrix]

Dobra, chyba już wiem:
\(\displaystyle{ p \\
\neg p \\
p \wedge \neg p \\
p \vee \neg p}\)

parami będą nierównoważne, więc mamy ich \(\displaystyle{ 4}\)?

[Jan Kraszewski]

Dobrze. Podałeś przykłady - a może teraz zastanów się, jak wyglądają tabelki tych czterech formuł i skąd mamy pewność, że nie będzie więcej niż cztery szukane formuły.

JK

[Qabrix]

\(\displaystyle{ p}\) może przyjąć dwie wartości, prawdę, lub fałsz. Kolejne przykłady są zależne od \(\displaystyle{ p}\), a więc zmieniają się w zależności od niej. W takim razie tabelkę wypełnią wszystkie możliwe kombinacje \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\) dla dwóch pól. Czyli \(\displaystyle{ 2 ^{2}=4}\) .

Dla dwóch zmiennych możliwych waluacji jest przypisania różnych wartości \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) jest \(\displaystyle{ 2 \cdot 2=4}\).
Teraz możliwych wpisań w tabelkę \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\) dla czterech pól jest \(\displaystyle{ 2 ^{4}=16}\)

I to też będzie nasza liczba nierównoważnych formuł zdań logicznych dla dwóch zmiennych

Czy to rozumowanie teraz będzie ok?

[Jan Kraszewski]

Tak, jest dobrze.

JK

[Qabrix]

Dziękuję za poświęcony czas i cierpliwość