punkt wewnętrzny => pkt skupienia, prawda?

[dudi_pl]

Czy twierdznie:
"Punkt wewnętrzny x zbioru A zawsze jest punktem skupienia"

jest prawdziwe?

ps. moje podejrzenia padły na metrykę 0-1, gdzie kulką o promieniu < 1 jest sam pkt x...

[Cyber Stefan]

W metryce trywialnej wnetrze kazdego zbioru jest rowne calemu zbiorowi, gdyz kazdy zbior jest otwarty. a wiec w szczegolnosci zbior [0,1] suma {2} jest otwarty jednak 2 nie jst punktem skupienia tego zbioru a jest jego punktem wewnetrznym (jesli dobrze rozumiem pojecie punktu wewnetrznego zbioru, tzn. takiego, ktory nalezy do wnetrza tego zbioru)

[Arbooz]

Nie no, Stefan, nie tak.

To twierdzenie chyba wynika z definicji punktu wewnętrznego, tzn. jeśli punkt jest punktem wewnętrznym zbioru, to pewne jego otoczenie zawiera się w tym zbiorze.

Niestety nie znam się jeszcze na wydumanych metrykach, więc nie potrafię rozstrzygnąć tego problemu, ale obstawiam wersję, że przy tak określonej metryce, kula o promieniu < 1 nie ma punktów wewnętrznych.

[Cyber Stefan]

Acha, czyli znam inna definicje. Albo po prostu pomyliem je.

dudi Tobie chodzi o taka definicje jaka podal Arbooz? ?Jesli tak to w tej chwili nie potrafie pomoc. Wlasnie mam za soba algebre i 2 w indeksie...

[dudi_pl]

Hmm, definicje jakie zostały nam podane to:
x - pkt wew zb.A (należący do A) punkt posiada pewne otoczenie, zawierające się w zbiorze A. \(\displaystyle{ \exists_{\epsilon > 0} ( K_{\epsilon}(x) A )}\)
x - pkt skupienia zb.A (należący do X) dla każdego promienia otoczenie z wyłączeniem {x} i w iloczynie z A jest zbiorem niepustym. \(\displaystyle{ \forall_{\epsilon > 0} ( K_{\epsilon}(x) \ {x}) \cap A 0}\)

K - kulka (otoczenie), epsilon - promien

metryka 0-1:
d(x,y)= 0, gdy x = y
1, gdy x=/=y


Stąd wynikałoby, że w metryce 0-1 każdy punkt należący do zbioru jest punktem wewnętrznym, i żaden nie jest punktem skupienia. Twierdzenie to zostało wygłoszene nam na wykładach, bez żadnych założeń eliminujących metrykę 0-1.

ps. u mnie są to podstawy topologii na analizie na I roku maty

[Cyber Stefan]

Czyli inaczej punkt x jest punktem skupienia zbioru jA esli nalezy do domkniecia dopelnienia czyli nalezy do dmkniecia zbioru X{x}. Tak sie definiuje to w topologii ogolnej ( co na poziomie topologii metrycznej jest rownowazne warunkowi, tym z ciagami oraz tym co Ty podales).
Pozwolisz, ze jednak bede sie poslugiwal ta definicja, z ktora ostatnio mialem do czynienia i ktora w zasadzie to chyba latwiej zrozumiec.
Lstwo pokazac, ze w przestrzeni z metryka trywialna kazdy zbior jest domkniety (i jednoczesnie otwarty). Czyli z definicji domkniecia mamy, ze kazdy zbior jest taki sam jak jego domkniecie (w ten sposob zreszta mozna zreszta zdefiniowac warunek na domknietosc zbioru).
Niech wiec A bedzie zbiorem oraz x niech nalezy do A. Wtedy domkniecie(A{x}) = A{x} na mocy uwagi, ktora przed chwila napisalem. Czyli x nie jest punktem skupienia zbioru A dla dowolnego x.
Wykazalem wiec, ze w przestrzeni z metryka dyskretna zbior punktow skupienia dowolnego zbioru jest zbiorem pustym. Do zakonczenia dowodu wystarczy wskazac zbior A oraz punkt x, ktory bedzie punktem wewnetrznym zbioru. Ale to nie przedstawia trudnosci, gdyz biorac sobie za przestrzen liczb rzeczywistych z metryka dyskretna mamy, ze kazdy punkt jest punktem wewnetrznym i zaden nie jest punktem skupienia. Stad mamy to co chciales.

[Arbooz]

No więc właśnie.
W metryce 0-1 kulka o promieniu < 1 (a właściwie o dowolnym promieniu różnym od 0) jest zbiorem nieskończenie wielu punktów izolowanych (czyli żaden z nich nie jest ani punktem wewnętrznym ani punktem skupienia) z których każde dwa są od siebie odległe o 1. (Dość ciekawa abstrakcja )

[Cyber Stefan]

Arboozie chyba nie wiem o co Ci chodzi
Jesli mamy ta przestrzen X z meryka dyskretna i jako zbior wezmiemy kule o promieniu mniejszym niz jeden, np r to kula ta bedzie zbiorem jednopunktowym. Mozemy jednak wpisac w ten punkt kule o promieniu mniejszym niz 1, najlepiej np r/2 i ktora sie bedzie zawierala w tym zbiorze czyli bedzie tym samym punktem. Tym samym znalezlismy kule zawrta w zbiorze (czyli kuli), zawierajacej jedyny punkt tego zbioru. Stad jesli definicja jest dobrze napisana mamy, ze punkt x jest punktem wewnetrznym czyli przeczy tez chyba temu co Ty napisales Arboozie... Czyli za otoczenie punktu moze sluzyc ten sam punkt. Topologia dyskretna jest dosc specyficzna, ale tez przy okazji bardzo ciekawa.
A tak, zeby juz dopelnic:
Wezmy za przestrzen zbior liczb rzeczywistych z metryka dyskretna. Wezmy teraz punkt 0 nalezacy do R. Wtedy jest on punktem wewnetrznym, gdyz mozemy tam wpisac kule o promieniu np. 2. Nie jest to jednak punkt skupienia na mocy tego co wczesniej pisalem.

[Arbooz]

Okej, przyznaję, że za cienki bolek jestem jeszcze na takie numery :]
Tymczasem jeszcze tego nie rozumiem, poczekam więc do wykładów z topologii :3

[Cyber Stefan]

Okej, przyznaję, że za cienki bolek jestem jeszcze na takie numery :]
Tymczasem jeszcze tego nie rozumiem, poczekam więc do wykładów z topologii :3

Ja wykłady i egzamin z topologii mam już za sobą więc siłą rzeczy się na tym trochę znam... (przynajmniej powinienem ) Takie pytanie: na którym roku u Was są te wykłady?

[Sage!]

Szczerze to przeraża mnie, że nie potraficie sobie poradzić z tak prostym problemem.

Na to aby zbiór \(\displaystyle{ A}\) posiadał jakikolwiek punkt skupienia potrzeba aby zbiór \(\displaystyle{ A}\) był nieskończony (dlaczego?). Podałeś zatem przykład zbioru, który jest jak najbardziej otwarty, czyli każdy jego punkt jest jego punktem wewnętrznym, ale jest zbiorem skończonym, zatem nie może mieć punktów skupienia.