Zbadaj czy problem poczatkowy posiada rozwiazanie i czy...

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
michaljst
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 8 gru 2018, o 19:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 6 razy

Zbadaj czy problem poczatkowy posiada rozwiazanie i czy...

Post autor: michaljst »

Zbadaj czy problem poczatkowy posiada rozwiazanie
i czy rozwiazanie jest dokładnie jedno. Jezeli istnieje rozwiazanie to
nalezy je wyznaczyc. W przypadku gdy jest wiecej niz jedno rozwiazanie
nalezy podac przykłady przynajmniej dwóch róznych rozwiazan.

\(\displaystyle{ ty''-y'= 0, \quad y(0) = 0, \quad y'(0) = 1}\)

Proszę o pomoc
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Re: Zbadaj czy problem poczatkowy posiada rozwiazanie i czy.

Post autor: bartek118 »

Podstaw \(\displaystyle{ z = y'}\). Wówczas równanie sprowadza się do równania pierwszego rzędu
\(\displaystyle{ tz' - z = 0 \\
tz' = z}\)

z warunkiem \(\displaystyle{ z(0) = 1}\). Trzeba je rozwiązać (rozdzielanie zmiennych), a potem policzyć \(\displaystyle{ y}\) z \(\displaystyle{ z= y'}\).
michaljst
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 8 gru 2018, o 19:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 6 razy

Zbadaj czy problem poczatkowy posiada rozwiazanie i czy...

Post autor: michaljst »

Czyli coś takiego:
\(\displaystyle{ tz'=z\\}\)

\(\displaystyle{ t\frac{dz}{dt}=z\\}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{z}dz=\frac{1}{t}dt\\}\)

\(\displaystyle{ \ln{z}=\ln{t}+c_{1}\\}\)

\(\displaystyle{ z=te^{c_{1}}\\}\)

\(\displaystyle{ z=c_{1}t\\}\)

\(\displaystyle{ y=\int{c_{1}tdt}\\}\)

\(\displaystyle{ y=c_{1}(\frac{t^2}{2}+c)\\}\)

\(\displaystyle{ y=\frac{c_{1}t^2}{2}+c_{2}\\}\)

Czyli odpowiedzia jest ze problem poczatkowy posiada rozwiazanie i jest ono tylko jedno?
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Re: Zbadaj czy problem poczatkowy posiada rozwiazanie i czy.

Post autor: bartek118 »

Zapomniałeś od początku o uwzględnianiu warunków początkowych. Rozwiązanie, którego poszukujesz nie istnieje.

Wychodzi \(\displaystyle{ z(t) = C t}\), dla \(\displaystyle{ t = 0}\) mamy \(\displaystyle{ z(0) = 0 \neq 1}\).

Można to też zauważyć na początku, kładąc \(\displaystyle{ t = 0}\) w równaniu. Wychodzi
\(\displaystyle{ -y'(0) = 0,}\)
a powinno być \(\displaystyle{ y'(0)=1}\).
michaljst
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 8 gru 2018, o 19:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 6 razy

Zbadaj czy problem poczatkowy posiada rozwiazanie i czy...

Post autor: michaljst »

Aaa rzeczywiście, dzięki wielkie!
ODPOWIEDZ