Zbadaj czy problem poczatkowy posiada rozwiazanie
i czy rozwiazanie jest dokładnie jedno. Jezeli istnieje rozwiazanie to
nalezy je wyznaczyc. W przypadku gdy jest wiecej niz jedno rozwiazanie
nalezy podac przykłady przynajmniej dwóch róznych rozwiazan.
\(\displaystyle{ ty''-y'= 0, \quad y(0) = 0, \quad y'(0) = 1}\)
Proszę o pomoc
Zbadaj czy problem poczatkowy posiada rozwiazanie i czy...
-
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Re: Zbadaj czy problem poczatkowy posiada rozwiazanie i czy.
Podstaw \(\displaystyle{ z = y'}\). Wówczas równanie sprowadza się do równania pierwszego rzędu
\(\displaystyle{ tz' - z = 0 \\
tz' = z}\)
z warunkiem \(\displaystyle{ z(0) = 1}\). Trzeba je rozwiązać (rozdzielanie zmiennych), a potem policzyć \(\displaystyle{ y}\) z \(\displaystyle{ z= y'}\).
\(\displaystyle{ tz' - z = 0 \\
tz' = z}\)
z warunkiem \(\displaystyle{ z(0) = 1}\). Trzeba je rozwiązać (rozdzielanie zmiennych), a potem policzyć \(\displaystyle{ y}\) z \(\displaystyle{ z= y'}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 8 gru 2018, o 19:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 6 razy
Zbadaj czy problem poczatkowy posiada rozwiazanie i czy...
Czyli coś takiego:
\(\displaystyle{ tz'=z\\}\)
\(\displaystyle{ t\frac{dz}{dt}=z\\}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{z}dz=\frac{1}{t}dt\\}\)
\(\displaystyle{ \ln{z}=\ln{t}+c_{1}\\}\)
\(\displaystyle{ z=te^{c_{1}}\\}\)
\(\displaystyle{ z=c_{1}t\\}\)
\(\displaystyle{ y=\int{c_{1}tdt}\\}\)
\(\displaystyle{ y=c_{1}(\frac{t^2}{2}+c)\\}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{c_{1}t^2}{2}+c_{2}\\}\)
Czyli odpowiedzia jest ze problem poczatkowy posiada rozwiazanie i jest ono tylko jedno?
\(\displaystyle{ tz'=z\\}\)
\(\displaystyle{ t\frac{dz}{dt}=z\\}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{z}dz=\frac{1}{t}dt\\}\)
\(\displaystyle{ \ln{z}=\ln{t}+c_{1}\\}\)
\(\displaystyle{ z=te^{c_{1}}\\}\)
\(\displaystyle{ z=c_{1}t\\}\)
\(\displaystyle{ y=\int{c_{1}tdt}\\}\)
\(\displaystyle{ y=c_{1}(\frac{t^2}{2}+c)\\}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{c_{1}t^2}{2}+c_{2}\\}\)
Czyli odpowiedzia jest ze problem poczatkowy posiada rozwiazanie i jest ono tylko jedno?
-
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Re: Zbadaj czy problem poczatkowy posiada rozwiazanie i czy.
Zapomniałeś od początku o uwzględnianiu warunków początkowych. Rozwiązanie, którego poszukujesz nie istnieje.
Wychodzi \(\displaystyle{ z(t) = C t}\), dla \(\displaystyle{ t = 0}\) mamy \(\displaystyle{ z(0) = 0 \neq 1}\).
Można to też zauważyć na początku, kładąc \(\displaystyle{ t = 0}\) w równaniu. Wychodzi
\(\displaystyle{ -y'(0) = 0,}\)
a powinno być \(\displaystyle{ y'(0)=1}\).
Wychodzi \(\displaystyle{ z(t) = C t}\), dla \(\displaystyle{ t = 0}\) mamy \(\displaystyle{ z(0) = 0 \neq 1}\).
Można to też zauważyć na początku, kładąc \(\displaystyle{ t = 0}\) w równaniu. Wychodzi
\(\displaystyle{ -y'(0) = 0,}\)
a powinno być \(\displaystyle{ y'(0)=1}\).