Funkcja \(\displaystyle{ f:(0,1)\to\RR_+}\) spełnia następujący warunek:
Dla wszystkich \(\displaystyle{ 0<x<y<1/2}\)
\(\displaystyle{ f\left(\frac{y-x}{1-x-y}\right)>f\left(\frac{y-x}{1+x+y}\right).}\)
Czy \(\displaystyle{ f}\) musi być monotoniczna?
Czy jest monotoniczna
-
tometomek91
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
Re: Czy jest monotoniczna
Nie.
Wystarczy rozważyć funkcję
\(\displaystyle{ f(u)= \begin{cases} u \ \text{gdy} \ u \in \left(0, \frac{1}{3} \right] \\ \frac{4}{3} - u \ \text{gdy} \ u \in \left( \frac{1}{3},0 \right)\end{cases}}\)
Mamy dwa przypadki (to trzeba udowodnić) - albo
\(\displaystyle{ f\left(\frac{y-x}{1-x-y}\right)-f\left(\frac{y-x}{1+x+y}\right)=\frac{y-x}{1-x-y}-\frac{y-x}{1+x+y}>0}\)
albo
\(\displaystyle{ f\left(\frac{y-x}{1-x-y}\right)-f\left(\frac{y-x}{1+x+y}\right)=\frac{4}{3}-\frac{y-x}{1-x-y}-\frac{y-x}{1+x+y}>0}\)
Czyli fa funkcja spełnia warunek z zadania ale nie jest monotoniczna.
Jeśli założyć w zadaniu ciągłość funkcji to wtedy odpowiedź to tak.
Wystarczy rozważyć funkcję
\(\displaystyle{ f(u)= \begin{cases} u \ \text{gdy} \ u \in \left(0, \frac{1}{3} \right] \\ \frac{4}{3} - u \ \text{gdy} \ u \in \left( \frac{1}{3},0 \right)\end{cases}}\)
Mamy dwa przypadki (to trzeba udowodnić) - albo
\(\displaystyle{ f\left(\frac{y-x}{1-x-y}\right)-f\left(\frac{y-x}{1+x+y}\right)=\frac{y-x}{1-x-y}-\frac{y-x}{1+x+y}>0}\)
albo
\(\displaystyle{ f\left(\frac{y-x}{1-x-y}\right)-f\left(\frac{y-x}{1+x+y}\right)=\frac{4}{3}-\frac{y-x}{1-x-y}-\frac{y-x}{1+x+y}>0}\)
Czyli fa funkcja spełnia warunek z zadania ale nie jest monotoniczna.
Jeśli założyć w zadaniu ciągłość funkcji to wtedy odpowiedź to tak.
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Czy jest monotoniczna
Dla dowolnych \(\displaystyle{ 0<x<y<1/2}\) mamy
\(\displaystyle{ \frac{y-x}{1-x-y}-\frac{y-x}{1+x+y}>0}\)
a ponadto
\(\displaystyle{ \sup \frac{y-x}{1+x+y}=1/3}\)
Jeżeli zatem funkcja \(\displaystyle{ f(z)}\) będzie taka, że jest rosnąca dla \(\displaystyle{ z<1/3}\) i dowolna, byle nie mniejsza niż \(\displaystyle{ \lim_{z\to 1/3^-} f(z)}\), to będą spełnione założenia. W szczególności \(\displaystyle{ f}\) może być ciągłą, ale nie monotoniczna.
\(\displaystyle{ \frac{y-x}{1-x-y}-\frac{y-x}{1+x+y}>0}\)
a ponadto
\(\displaystyle{ \sup \frac{y-x}{1+x+y}=1/3}\)
Jeżeli zatem funkcja \(\displaystyle{ f(z)}\) będzie taka, że jest rosnąca dla \(\displaystyle{ z<1/3}\) i dowolna, byle nie mniejsza niż \(\displaystyle{ \lim_{z\to 1/3^-} f(z)}\), to będą spełnione założenia. W szczególności \(\displaystyle{ f}\) może być ciągłą, ale nie monotoniczna.