Mam zadanie typu:
Dwuwymiarowa zmienna losowa \(\displaystyle{ \left( X\right,Y)}\) ma łączną funkcję gęstości prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ f _{X,Y} \left( x\right,y)}\).
Należy udowodnić, że funkcja gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z=X+Y}\) ma wzór
\(\displaystyle{ f _{Z}\left( z\right) = \int_{- \infty }^{ \infty } f _{X,Y} \left( x\right,z-x)dx}\)
Nie wiem jak mam się za takie zadanie zabrać?
Dowód dwuwymiarowej zmiennej losowej
-
- Użytkownik
- Posty: 209
- Rejestracja: 26 lis 2009, o 23:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 8 razy
Dowód dwuwymiarowej zmiennej losowej
Dwie uwagi
1) Tytuł posta jest trochę dzwiny bo zmiennej nie trzeba dowodzić
2) Ta własność splotu to standardzik, dowód można przepisać np z angielskiej wikipedii
1) Tytuł posta jest trochę dzwiny bo zmiennej nie trzeba dowodzić
2) Ta własność splotu to standardzik, dowód można przepisać np z angielskiej wikipedii
-
- Użytkownik
- Posty: 7942
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1681 razy
Dowód dwuwymiarowej zmiennej losowej
\(\displaystyle{ F_{X+Y}(z) = F_{Z}(z) = \iint _{x+y\leq z} f_{(X,Y)}(x,y)dxdy = \iint_{x+y\leq z}f_{X}(x)\cdot f_{Y}(y) dxdy =\\ = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{z- x}f_{X}(x)\cdot f_{Y}(y) dxdy}\)
Stąd
\(\displaystyle{ f_{Z}(z) = F'_{Z}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(x)\cdot f_{Y}(z-x)dx = f_{X}(x)* f_{Y}(y)}\)
Stąd
\(\displaystyle{ f_{Z}(z) = F'_{Z}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(x)\cdot f_{Y}(z-x)dx = f_{X}(x)* f_{Y}(y)}\)
Ostatnio zmieniony 28 gru 2018, o 18:35 przez janusz47, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 209
- Rejestracja: 26 lis 2009, o 23:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 8 razy
Dowód dwuwymiarowej zmiennej losowej
Wszystko pięknie. Brakuje tylko założenia o niezależności zmiennych, z którego wynika druga równość.
PS
Jeszcze chyba tutaj
\(\displaystyle{ F_{Z}(z) = F'_{Z}(z)}\) pierwsze \(\displaystyle{ f}\) małe bo chodzi o gęstość (pochodna z dystrybuanty dla fkcji ciągłęj).
PS
Jeszcze chyba tutaj
\(\displaystyle{ F_{Z}(z) = F'_{Z}(z)}\) pierwsze \(\displaystyle{ f}\) małe bo chodzi o gęstość (pochodna z dystrybuanty dla fkcji ciągłęj).
-
- Użytkownik
- Posty: 209
- Rejestracja: 26 lis 2009, o 23:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 8 razy
Dowód dwuwymiarowej zmiennej losowej
"Nie popisuj się" to ogólne stwierdzenie czy to do mnie? Mój post wniósł coś do tematu, Twój ostatni - nic.
Co do niezależności to zgadza się, to właśnie napisałem.
Co do niezależności to zgadza się, to właśnie napisałem.
-
- Użytkownik
- Posty: 7942
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1681 razy
Dowód dwuwymiarowej zmiennej losowej
Co wniósł do tematu?
kolegasafeta pisze: 1) Tytuł posta jest trochę dzwiny bo zmiennej nie trzeba dowodzić
2) Ta własność splotu to standardzik, dowód można przepisać np z angielskiej wikipedii