odcinek równoległy do osi OY

[Bratower]

Rozpatrujemy odcinki równoległe do osi \(\displaystyle{ OY}\) , których jeden koniec leży na wykresie funkcji
\(\displaystyle{ f(x)=-\frac{2}{x},x<0}\), a drugi koniec leży na wykresie funkcji \(\displaystyle{ g(x)=-(x-2)^2,x\in\RR}\). Oblicz długość najkrótszego takiego odcinka.

Zaciąłem się na pewnym etapie... Zapewne należy tu zbudować funkcje z długości odcinka i obliczyć minimum lokalne. Więc niech \(\displaystyle{ K=(x,-(x-2)^2), P=(x,-\frac{2}{x})}\), \(\displaystyle{ |KP|=\sqrt{(x-x)^2-(-(x-2)^2-(-\frac{2}{x}))^2}=\sqrt{0-(-(x-2)^2+\frac{2}{x})^2}=\sqrt{((x-2)^2-\frac{2}{x})^2}=|(x-2)^2-\frac{2}{x}|}\)
I tu jest mój problem bo równie dobrze \(\displaystyle{ |KP|=|\frac{2}{x}-(x-2)^2|}\) No i co dalej \(\displaystyle{ |KP|=\frac{2}{x}-(x-2)^2}\) czy \(\displaystyle{ |KP|=(x-2)^2-\frac{2}{x}}\)?
Obstawiam, że odpowiedź jest banalna, lecz ja nie widzę jej na ten moment.

[piasek101]

Ostatnie bo przecież w zadaniu masz x ujemne.

[Bratower]

Ostatnie bo przecież w zadaniu masz x ujemne.

Mógłbyś rozwinąć swoją myśl? Domniemam, że chodzi o to gdy opuszczę pierwsza wartość bezwzględna i zmienię znak bo \(\displaystyle{ x<0}\). Tylko co jeśli zamienię moje współrzędne miejscami bo przecież nie wiem które gdzie się znajduje i wartość bezwzględna bezie miała odwrotna postać i wtedy gdy opuszczę wartość bezwzględna bo \(\displaystyle{ x<0}\) to tez będzie miała inna postać?

[piasek101]

Skoro \(\displaystyle{ |KP|=\left |(x-2)^2-\frac{2}{x}\right|}\) i wiesz, że \(\displaystyle{ x<0}\) to pierwszy składnik między kreskami jest dodatni i drugi też. Zatem znikasz kreski bo cała zawartość modułu jest dodatnia.

[Bratower]

A co jeśli bym ustalił \(\displaystyle{ K=(x,-\frac{2}{x}), P=(x,-(x-2)^2)}\)
wtedy
\(\displaystyle{ |KP|=\sqrt{(x-x)^2-((-\frac{2}{x})+(x-2)^2)^2}=\sqrt{0-(-\frac{2}{x}+(x-2)^2)^2}=\sqrt{(\frac{2}{x}-(x-2)^2)^2}=|\frac{2}{x}-(x-2)^2|}\)
Chodzi mi o to, że skąd wiem który odcinek jest poprawny? skoro współrzędne w tym mogę zamienić?

[a4karo]

A wpadłeś może na to, żeby to narysować?

[Bratower]

A wpadłeś może na to, żeby to narysować?

Tak wykres \(\displaystyle{ f(x)=-\frac{2}{x}}\) jest wyżej nad wykresem \(\displaystyle{ g(x)=-(x-2)^2}\) dla \(\displaystyle{ x<0}\)
Więc jeśli oba punkty mają tą samą pierwsza współrzędną to druga współrzędna \(\displaystyle{ f(x)=-\frac{2}{x}}\) będzie miała większą wartość od drugiej współrzędnej \(\displaystyle{ g(x)=-(x-2)^2}\)

[a4karo]

I to powinno Ci wystarczyć . Długość tego odcinka wynosi zatem ... ?

[piasek101]

A co jeśli bym ustalił \(\displaystyle{ K=(x,-\frac{2}{x}), P=(x,-(x-2)^2)}\)
wtedy
\(\displaystyle{ |KP|=\sqrt{(x-x)^2-((-\frac{2}{x})+(x-2)^2)^2}=\sqrt{0\red -(-\frac{2}{x}+(x-2)^2)^2}\black=\sqrt{(\frac{2}{x}-(x-2)^2)^2}=|\frac{2}{x}-(x-2)^2|}\)
Chodzi mi o to, że skąd wiem który odcinek jest poprawny? skoro współrzędne w tym mogę zamienić?

Tu (czerwone) miałeś ujemną wartość pod pierwiastkiem - czyli tak nie mogłeś.
(dalej nie zachowałeś kolejności działań - ale to szczegół)

[Bratower]

Tu (czerwone) miałeś ujemną wartość pod pierwiastkiem - czyli tak nie mogłeś.
(dalej nie zachowałeś kolejności działań - ale to szczegół)

Faktycznie czyli wychodzi na to, że to jest wszystko źle do tej pory, muszę to jeszcze przemyśleć i odpiszę.

[piasek101]

Po prostu masz błąd we wzorze na długość odcinka (na początku nie zwróciłem na to uwagi) - tam na środku (pod pierwiastkiem) powinien być plus.

[Bratower]

_________________edit___________
(tam coś źle wzór zastosowałem tak myśle)
To zacznę od początku niech
\(\displaystyle{ A=(x,-\frac{2}{x}), B=(x,-(x-2)^2)=(x,-x^2+4x-4), |AB|=\sqrt{(x-x)^2{\red+}(-\frac{2}{x}-(-x^2+4x-4))^2}=\sqrt{0{\red +} (-\frac{2}{x}+x^2-4x+4)^2}=|-\frac{2}{x}+x^2-4x+4|=|-\frac{2}{x}+(x-2)^2|}\)
Dobra na tym etapie przyda się komentarz rozpatrujemy \(\displaystyle{ x<0}\) więc \(\displaystyle{ -\frac{2}{x}}\) dla \(\displaystyle{ x<0}\) jest na pewno dodatnie, a drugie \(\displaystyle{ (x-2)^2}\) zawsze nieujemne... więc moge opuścić w tym momencie wartość bezwzględna
Czyli mam do rozpatrzenia funkcje w postaci (po opuszczeniu wartości bezwzględnej)
\(\displaystyle{ k(x)-\frac{2}{x}+(x-2)^2\\k'(x)=\frac{2}{x^2}+2x-4\\k'(x)=0\iff \frac{2}{x^2}+2x-4=0\wedge x<0\Rightarrow x = \frac{1}{2} -\frac{\sqrt{5}}{2}\\k(\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{5}}{2})=-\frac{2}{\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{5}}{2}}+(\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{5}}{2}-2)^2=-\frac{4}{1-\sqrt{5}}+(1\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2})^2=1+\sqrt{5}+(\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2})^2=1+\sqrt{5}+\frac{7}{2} + \frac{3 \sqrt{5}}{2}=\frac{9}{2}+\frac{5\sqrt{5}}{2}=\boxed{\frac{1}{2}(9+5\sqrt{5})}}\)
Wydaję mi się, że doczołgałem się końca zadania (dziękuję a4karo, piasek101)

[piasek101]

Doprecyzowanie : \(\displaystyle{ (x-2)^2}\) jest (tu) zawsze dodatnie.

[Dilectus]

Zrobiłbym to tak:

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ d(x)}\) odległość (po ygrekach) między tymi funkcjami. Mamy wówczas:

\(\displaystyle{ d(x)= f(x)-g(x)= \frac{-2}{x}+(x-2)^2}\)

Policzmy minimum tej funkcji dla \(\displaystyle{ x<0}\)

\(\displaystyle{ d'(x)= \frac{2}{x^2}+2(x-2)= \frac{2+2x^2(x-2)}{x^2}}\)

\(\displaystyle{ d'(x)=0}\) gdy

\(\displaystyle{ 2x^3-4x^2+2=0}\) Łatwo zgadnąć, że jednym z pierwiastków tego wielomianu jest \(\displaystyle{ x=1}\)

Wobec tego można rozłożyć ten wielomian na czynniki, co wygląda tak:

\(\displaystyle{ (x- \frac{1- \sqrt{5}}{2} )(x-1)(x- \frac{1+ \sqrt{5}}{2} )=0}\)

Interesują nas tylko pierwiastki ujemne, stąd wniosek, że \(\displaystyle{ x_{min}=\frac{1- \sqrt{5}}{2}}\)

No to

\(\displaystyle{ d_{min}=d(\frac{1- \sqrt{5}}{2})= \frac{-2}{\frac{1- \sqrt{5}}{2}}+(\frac{1- \sqrt{5}}{2}-2)^2= \frac{-4(1+ \sqrt{5}) }{-4}+\left( \frac{-3- \sqrt{5} }{2}\right)^2= \\ = 1+ \sqrt{5}+ \frac{7+3 \sqrt{5} }{2}= \frac{11+5 \sqrt{5} }{2}}\)

o ile się nie rąbnąłem w rachunkach.

[piasek101]

Wszystko już było zrobione - nie wiem po co to pisałeś.

\(\displaystyle{ = 1+ \sqrt{5}+ \frac{7+3 \sqrt{5} }{2}= \frac{11+5 \sqrt{5} }{2}}\)
o ile się nie rąbnąłem w rachunkach.

Na samym końcu.
Autor (powtarzam się) wszystko ładnie pokazał.