Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania Eulera
\(\displaystyle{ t^{2}y'' + ty' = 4y + 10t.}\)
Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania Eulera
-
- Użytkownik
- Posty: 124
- Rejestracja: 17 gru 2017, o 17:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania Eulera
Ostatnio zmieniony 23 sty 2019, o 18:35 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5762
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 132 razy
- Pomógł: 528 razy
Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania Eulera
\(\displaystyle{ t=e^z}\)
\(\displaystyle{ \frac{dt}{dz}=e^z=t}\)
\(\displaystyle{ t \frac{dy}{dt}=t \frac{dy}{dz} \frac{dz}{dt}=t \frac{dy}{dz}t^{-1}= \frac{dy}{dz}}\)
\(\displaystyle{ t^2y''=t^2 \frac{d}{dt}\left( \frac{dy}{dt} \right)=t^2 \frac{dz}{dt} \frac{d}{dz}\left( \frac{dy}{dz} \frac{dz}{dt} \right)=}\)
\(\displaystyle{ =t^2 \frac{1}{t} \frac{d}{dz}\left( \frac{dy}{dz} \cdot \frac{1}{t} \right)=e^z \frac{d}{dz}\left( \frac{dy}{dz}e^{-z} \right)=e^z\left( \frac{d^2y}{dz^2}e^{-z}- \frac{dy}{dz}e^{-z} \right)=}\)
\(\displaystyle{ \frac{d^2y}{dz^2}- \frac{dy}{dz}}\)
po podstawieniu do wyjściowego masz:
\(\displaystyle{ y''-y'+y'=4y+10e^z}\)
\(\displaystyle{ y''-4y=10e^z}\)
\(\displaystyle{ \frac{dt}{dz}=e^z=t}\)
\(\displaystyle{ t \frac{dy}{dt}=t \frac{dy}{dz} \frac{dz}{dt}=t \frac{dy}{dz}t^{-1}= \frac{dy}{dz}}\)
\(\displaystyle{ t^2y''=t^2 \frac{d}{dt}\left( \frac{dy}{dt} \right)=t^2 \frac{dz}{dt} \frac{d}{dz}\left( \frac{dy}{dz} \frac{dz}{dt} \right)=}\)
\(\displaystyle{ =t^2 \frac{1}{t} \frac{d}{dz}\left( \frac{dy}{dz} \cdot \frac{1}{t} \right)=e^z \frac{d}{dz}\left( \frac{dy}{dz}e^{-z} \right)=e^z\left( \frac{d^2y}{dz^2}e^{-z}- \frac{dy}{dz}e^{-z} \right)=}\)
\(\displaystyle{ \frac{d^2y}{dz^2}- \frac{dy}{dz}}\)
po podstawieniu do wyjściowego masz:
\(\displaystyle{ y''-y'+y'=4y+10e^z}\)
\(\displaystyle{ y''-4y=10e^z}\)
Ostatnio zmieniony 26 gru 2018, o 20:06 przez arek1357, łącznie zmieniany 2 razy.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8596
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3357 razy
Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania Eulera
\(\displaystyle{ t^{2}y'' + ty' - 4y = 10t}\)fluffiq pisze:\(\displaystyle{ t^{2}y'' + ty' = 4y + 10t}\)
\(\displaystyle{ t^{2}y'' + ty' - 4y = 0}\)
\(\displaystyle{ y=t^r\\
t^2r(r-1)t^{r-2}+trt^{r-1}-4t^r=0\\
r(r-1)+r-4=0\\
(r-2)(r+2)=0\\
y_o=C_1t^2+C_2t^{-2}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 124
- Rejestracja: 17 gru 2017, o 17:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania Eulera
I to by byłoby na tyle? Czy jeszcze coś trzeba tu policzyć?kerajs pisze:\(\displaystyle{ t^{2}y'' + ty' - 4y = 10t}\)fluffiq pisze:\(\displaystyle{ t^{2}y'' + ty' = 4y + 10t}\)
\(\displaystyle{ t^{2}y'' + ty' - 4y = 0}\)
\(\displaystyle{ y=t^r\\
t^2r(r-1)t^{r-2}+trt^{r-1}-4t^r=0\\
r(r-1)+r-4=0\\
(r-2)(r+2)=0\\
y_o=C_1t^2+C_2t^{-2}}\)
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5762
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 132 razy
- Pomógł: 528 razy
Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania Eulera
Po uzmiennieniu mamy:
\(\displaystyle{ y=C_{1}(z)e^{-2z}+C_{2}(z)e^{2z}}\)
\(\displaystyle{ W=4}\)
\(\displaystyle{ C_{1}(z)=- \frac{5}{6}e^{3z}+A}\)
\(\displaystyle{ C_{2}(z)=- \frac{5}{2}e^{-z}+B}\)
po przejściu do starych zmiennych mamy:
\(\displaystyle{ y=- \frac{10}{3}t+At^{-2}+Bt^2}\)
\(\displaystyle{ y=C_{1}(z)e^{-2z}+C_{2}(z)e^{2z}}\)
\(\displaystyle{ W=4}\)
\(\displaystyle{ C_{1}(z)=- \frac{5}{6}e^{3z}+A}\)
\(\displaystyle{ C_{2}(z)=- \frac{5}{2}e^{-z}+B}\)
po przejściu do starych zmiennych mamy:
\(\displaystyle{ y=- \frac{10}{3}t+At^{-2}+Bt^2}\)
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6910
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania Eulera
Podstawienie Arka jest wygodne w użyciu bo nie trzeba zgadywać rozwiązania
gdy pierwiastki równania charakterystycznego są zespolone lub gdy się powtarzają
gdy pierwiastki równania charakterystycznego są zespolone lub gdy się powtarzają