Podaj wzór jawy równania rekurenycjnego

[MultiGumis]

\(\displaystyle{ a_{0}=4, a_{1}=1, a _{n}=-a _{n-1}+6a _{n-2}-4n ^{2}+2n, n \ge 2}\)

Z tego co wiem wzór jawny to suma rozwiązania jednorodnego i szczególnego. Rozwiązanie jednorodne wychodzi mi: \(\displaystyle{ a_{n}= C_{1}*2 ^{n}+ C_{2} *(-3) ^{n}}\). Jednak nie wiem jak wyznaczyć mam rozwiązanie szczególne. Proszę o pomoc i wytłumaczenie.

[Premislav]

Przewidujemy rozwiązanie szczególne równania rekurencyjnego niejednorodnego w postaci wielomianu stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ 2}\), gdyż ta część niejednorodna \(\displaystyle{ -4n^2+2n}\) jest wielomianem stopnia \(\displaystyle{ 2}\), zaś rozwiązanie ogólne równania jednorodnego nie jest wielomianem (gdyby rozwiązanie równania jednorodnego było wielomianem stopnia \(\displaystyle{ k}\), nasze potencjalne rozwiązanie niejednorodne przemnożylibyśmy jeszcze przez \(\displaystyle{ n^k}\)).
Podstawiamy więc do równania niejednorodnego
\(\displaystyle{ a_n:=an^2+bn+c}\) i wykonujemy obliczenia, przyrównując współczynniki przy odpowiednich potęgach. Powodzenia, ja nie mam ochoty tego rachować.

Rozwiązanie ogólne równania rekurencyjnego niejednorodnego jest sumą rozwiązania ogólnego równania jednorodnego i tego znalezionego rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego. Na koniec wyliczasz stałe \(\displaystyle{ C_1, \ C_2}\) korzystając z warunków początkowych: podstawiasz do wzoru ogólnego kolejno \(\displaystyle{ n:=0, \ n:=1}\) i dostajesz układ dwóch równań liniowych z dwoma niewiadomymi \(\displaystyle{ C_1, C_2.}\)

[MultiGumis]

Dziękuję bardzo-- 22 gru 2018, o 19:03 --

Podstawiamy więc do równania niejednorodnego
\(\displaystyle{ a_n:=an^2+bn+c}\) i wykonujemy obliczenia, przyrównując współczynniki przy odpowiednich potęgach.

A mógłbyś powiedzieć mi jak to dokładnie powinienem podstawić, nie wiem czy dobrze to robię ale gdy podstawiam w taki sposób: \(\displaystyle{ an ^{2}+bn+c= \left[ -a(n-1)\right] ^{2} + 6a(n-2) - 4n ^{2}+2n}\) to wychodzą mi dziwne liczby więc pewnie źle to podstawiłem.

[Mariusz M]

A nie lepiej skorzystać z funkcji tworzącej ?

Pochodna szeregu geometrycznego

\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}^k}{\mbox{d}x^k}\left(\frac{1}{1-qx}\right)=\frac{q^k\cdot k!}{\left(1-qx\right)^{k+1}}\\
\frac{\mbox{d}^k}{\mbox{d}x^k}\left(\sum_{n=0}^{\infty}{q^nx^n}\right)=q^{k}\sum_{n=0}^{\infty}{\prod_{i=1}^{k}{\left(n+i\right)}q^nx^n}\\
\frac{k!}{\left(1-qx\right)^{k+1}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\prod_{i=1}^{k}{\left(n+i\right)}q^nx^n}}\)


\(\displaystyle{ A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty }a_{n}x^{n}=\sum_{n=2}^{ \infty }-a_{n-1}x^{n} +\sum_{n=2}^{ \infty }6a_{n-2}x^{n}- \sum_{n=2}^{ \infty }{\left( -4n^2+2n\right)x^{n} }}\)

Przesuń indeksy sumowania do zera i
zapisz wielomian w postaci

\(\displaystyle{ -4n^2+2n=-4\left( n+2\right)\left( n+1\right)+14\left( n+1\right)-6}\)

Po obliczeniach powinno wyjść

\(\displaystyle{ a_{n}=8+5n+n^2-5 \cdot 2^{n}+\left( -3\right)^n}\)

[MultiGumis]

A nie lepiej skorzystać z funkcji tworzącej ?

Pochodna szeregu geometrycznego

\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}^k}{\mbox{d}x^k}\left(\frac{1}{1-qx}\right)=\frac{q^k\cdot k!}{\left(1-qx\right)^{k+1}}\\
\frac{\mbox{d}^k}{\mbox{d}x^k}\left(\sum_{n=0}^{\infty}{q^nx^n}\right)=q^{k}\sum_{n=0}^{\infty}{\prod_{i=1}^{k}{\left(n+i\right)}q^nx^n}\\
\frac{k!}{\left(1-qx\right)^{k+1}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\prod_{i=1}^{k}{\left(n+i\right)}q^nx^n}}\)


\(\displaystyle{ A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty }a_{n}x^{n}=\sum_{n=2}^{ \infty }-a_{n-1}x^{n} +\sum_{n=2}^{ \infty }6a_{n-2}x^{n}- \sum_{n=2}^{ \infty }{\left( -4n^2+2n\right)x^{n} }}\)

Przesuń indeksy sumowania do zera i
zapisz wielomian w postaci

\(\displaystyle{ -4n^2+2n=-4\left( n+2\right)\left( n+1\right)+14\left( n+1\right)-6}\)

Nie mogę korzystać z funkcji tworzącej ponieważ nie miałem jej na zajęciach. Mogę korzystać jedynie ze sposobu podanego w pierwszej odpowiedzi jednak tak jak mówiłem nie wiem jak to mam podstawić.

[Mariusz M]

To tak jak napisał Przemysław
Tutaj akurat jedynka nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego
więc przewidywane rozwiązanie szczególne nadal będzie wielomianem drugiego stopnia