Odcinek i proporcja

[41421356]

Wykazać, że prosta przechodząca przez wierzchołek kąta przy podstawie trójkąta rownoramiennego dzieląca wysokość trójkąta na połowę dzieli bok trójkąta w stosunku \(\displaystyle{ 1:2}\).

Nie mam pomysłu żadnego na to zadanie.

[kerajs]

W trójkącie równoramiennym ABS podstawą jest AB. W prostokącie ABCD punkt S leży w połowie CD. Niech przecięcie prostej (przechodząca przez wierzchołek kąta A i dzielącą wysokość trójkąta na połowę) z BS będzie punktem Q. Z twierdzenie Talesa masz:
\(\displaystyle{ \frac{\left| QS\right| }{\left| CS\right| } = \frac{\left|QB \right| }{\left| AB\right| } \\
\frac{\left| QS\right| }{ \frac{1}{2} \left| AB\right| } = \frac{\left|QB \right| }{\left| AB\right| }\\
\frac{\left| QS\right| }{ \left| BQ\right| } = \frac{1 }{2 }}\)

PS
Sugeruję zrobienie podobnego zadania gdy prosta przechodząca przez wierzchołek kąta A dzieli wysokość trójkąta w stosunku 1:2 (albo 2:1)

[41421356]

Wtedy sytuacja się odwróci i bok trójkąta będzie dzielony na połowy?

[kerajs]

Tak, w jednym z zaproponowanych wariantów.


PS
Zadanie można uogólnić na sytuację, gdy prosta dzieli wysokość w stosunku a:b

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}[scale=0.6]
\draw[blue, thick] (-4,0)--(0,10)--(4,0)--(-4,0);
\draw[blue, densely dashed] (0,0)--(0,10);
\draw[red!50!blue] (-4,0)--(2,6);
\draw(-4,0) node[below] {$A$};
\draw(4,0) node[below] {$B$};
\draw(0,0) node[below] {$S'$};
\draw(0,10) node[above] {$S$};
\draw(0.4,4.2) node[below] {$Q$};
\draw(2.3,6) node[below] {$R$};
\end{tikzpicture}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\left|SQ \right| }{\left|S'Q \right|} = \frac{a}{b}}\)

Dorysuję linie pomocnicze:
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}[scale=0.6]
\draw[blue, thick] (-4,0)--(0,10)--(4,0)--(-4,0);
\draw[blue, densely dashed] (0,0)--(0,10);
\draw[red!50!blue] (-4,0)--(6,10)--(0,10);
\draw(-4,0) node[below] {$A$};
\draw(4,0) node[below] {$B$};
\draw(0,0) node[below] {$S'$};
\draw(0,10) node[above] {$S$};
\draw(6,10) node[above] {$P$};
\draw(0.4,4.2) node[below] {$Q$};
\draw(2.3,6) node[below] {$R$};
\end{tikzpicture}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\left|SP \right| }{\left|SQ \right|} = \frac{ \frac{1}{2}\left| AB\right| }{\left| S'Q\right| } \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \left| SP\right|= \frac{a}{2b}\left| AB\right|}\)

\(\displaystyle{ \frac{\left|SP \right| }{\left|SR \right|} = \frac{ \left| AB\right| }{\left| BR\right| } \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \frac{\left|SR \right| }{\left|BR \right|} = \frac{ \left| SP\right| }{\left| AB\right| } = \frac{a}{2b}}\)

[41421356]

Bardzo dziękuję za wyjaśnienie!